Теория хаоса: понятие, принципы

        Рис. 6.2.

    Но  результат все еще выглядит слишком  формальным и упорядоченным. Дерево еще не смотрится как живое. Применим знания из области детерминированных фракталов (рис. 6.3).

      Рис. 6.3.  

    Теперь  использовано Броуновское движение для создания некоторой случайной беспорядочности, которая изменяет числа, округляя их до двух разрядов. В оригинале использовано 39 разрядные десятичные числа. Результат (рис. 6.3) не выглядит как дерево. Вместо этого, он выглядит как хитроумный рыболовный крючок.

    Может быть, округление до 2 разрядов было слишком  уж много? Снова применимо Броуновское движение, округленное на этот раз до 7 разрядов. Результат по-прежнему выглядит как рыболовный крючок, но на этот раз в форме логарифмической спирали (рис. 6.4).

Рис. 6.4.

    Так как левая сторона (содержащая все  нечетные числа) не производит эффект крючка, случайные беспорядочности, произведенные Броуновским движением  применяются дважды ко всем числам с левой стороны и только один раз к числам справа. Может быть этого будет достаточно чтобы  исключить или уменьшить эффект логарифмической спирали. Итак, числа  округляются до 24 разрядов. На этот раз, результат - приятно выглядящая компьютеризированная хаотическая эмуляция реального дерева (рис. 6.5).⁷ 

Рис. 6.5.  

7. Области применения теории хаоса 

    При появлении новых теорий, все хотят  узнать что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса?

    Первое  и самое важное, что теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

    Теория  хаоса находит приложения в широком  спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу  турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким  и регулярным), либо турбулентным (сложным  и нерегулярным). До появления теории хаоса существовали две конкурирующие  теории турбулентности. Первая из них  представляла турбулентность как накопление все новых и новых периодических  движений; вторая объясняла неприменимость стандартной физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды  в молекулярных масштабах. В 1970 математики Д. Рюэль и Ф. Такенс предложили третью версию: турбулентность - это хаос в  жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех  пор оно было подтверждено для  нескольких случаев, в частности, для  ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами. Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении.

    Ранняя  работа Э. Лоренца в области метеорологии получила дальнейшее развитие, и теперь известно, что полные уравнения поведения  атмосферы, используемые при прогнозировании  погоды, могут вести себя хаотически. Это означает, что долгосрочные прогнозы погоды на основе данных о ее прошлом  состоянии подвержены "эффекту  бабочки", так что погода обычно не может быть предсказана более  чем на четыре или пять дней вперед - независимо от мощности используемых компьютеров. Движение в Солнечной  системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов  лет, прежде чем какое-то изменение  станет непредсказуемым. Хаос проявляет  себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя  направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных  сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса  объясняет также распределение  тел в поясе астероидов между  Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других - пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся  на расстояниях, образующих "резонансы" с Юпитером, т.е. период обращения каждого астероида составляет некую простую дробь с периодом обращения Юпитера. Например, в резонансе 2:3 период обращения астероида равен 2/3 периода обращения Юпитера. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие - неустойчивое (пустые промежутки). В частности, астероиды в резонансе 1:3 с Юпитером имеют неустойчивые орбиты и могут испытать возмущения, заставляющие их пересечь орбиту Марса, после чего они могут испытать дальнейшие возмущения и пересечь орбиту Земли. В 1995 Ж. Ласкар установил, что на временных масштабах десятков миллионов лет вся Солнечная система хаотична. Однако хаос не делает все черты движения в Солнечной системе непредсказуемыми. Например, форма планетной орбиты может быть предсказуемой, однако точное положение планеты на орбите остается непредсказуемым. Ласкар предсказал вероятное будущее Солнечной системы в целом на следующие несколько миллиардов лет. Согласно его вычислениям, ничего существенного не случится с орбитами внешних планет - Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона. Орбиты Земли и Венеры тоже не претерпели бы существенных изменений, если бы не Марс, орбита которого изменится настолько, что он едва не столкнется с Землей. Меркурий тоже приблизится к Венере и будет либо выброшен из Солнечной системы, либо поменяется местами с Венерой. Хаос имеет место также в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т. е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей. Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и обнаружения скрытых закономерностей там, где прежде систему считали случайной и никаких закономерностей в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует. Одним из приложений этого подхода служит машина FRACMAT, обеспечивающая дешевую и быструю процедуру контроля качества пружинной проволоки. К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит "хаотическое управление". В 1950 Дж. фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э. Отт и Дж. Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини - Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать "интеллектуальный" стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости - метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.⁸

    Теория  хаоса имеет применение и в  современности. Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

    В действительности, почти любая хаотическая  система может быть смоделирована  - рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

    Фракталы  находятся везде, наиболее заметны  в графических программах как  например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее  реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

    И, конечно, теория хаоса дает людям  удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний  день. 
 
 

Заключение 

    К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются  на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами.

    Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью  хаоса не только нельзя построить  точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.

    Сейчас  еще не существует математически  точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением  знаний о хаосе нельзя.

    Вместе  с тем, это действительно самое  перспективное современное направление  математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы: 

1. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М., 1993.
2. Найдыш В.М. Концепции современного естествознания: Учебник. — Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Альфа-М; ИНФРА-М, 2004.
3. Браже Р.А. Концепции современного естествознания. Материалы к семинарским занятиям. Ч. 1: Учебное пособие/ Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов. — Ульяновск: УлГТУ, 2003.
4. dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6874/ХАОСА
5. www.ghcube.com
6. www.infox.ru/science/lab/2008/12/23/chaos_in_drop_1.phtml
7. ru.wikipedia.org/wiki/Ковёр_Серпинского
8. ait.ustu.ru/AIT/uch/Fractal
9. www.unmask.ru/trash/haos_ec.html