Теория хаоса: понятие, принципы

    Причинно-следственной связи между прошлым и будущем  в хаосе нет. Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения  является мерой хаоса, т.е. численным  выражением того, насколько система  хаотична. Другой статистической мерой  хаоса служит размерность аттрактора.

    Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов  является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются. Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал - это противоположность хаоса.

    Главное различие между хаосом и фракталом  заключается в том, что первый является динамическим явлением, а  фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение  траекторий.

    Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.

    Другое  свойство фрактала - дробность. Дробность  фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала. Фактически все, что кажется случайным и  неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

      Одним из примеров фрактала является «ковер Серпинского» (рис. 3.2)³. Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация - повторное применение какой-либо математической операции (рис. 3.3). 
 
 

Рис.3.2. Ковер Серпинского.

    Рис. 3.3. Построение (итерации) ковра Серпинского.⁴ 

    Рецепт  его создания состоит в следующем. Вначале берется квадрат с  длиной стороны, равной единице. Затем  каждая из сторон квадрата делится  на три равные  части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной 1/3. Из полученной фигуры вырезается центральный  квадрат. Затем такой же процедуре  подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков  и т. д.

    Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия. Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал – геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм. Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.

    Логика  существования нецелых измерений  очень простая. Так, в природе  вряд ли найдется идеальный шар или  куб, следовательно, 3-мерное измерение  этого реального шара или куба невозможно и для описания таких  объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения  таких неправильных, фрактальных  фигур и было введено понятие  фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С  точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие  шара. Отсюда можно предположить, что  новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5. Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского (рис. 3.2), и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой.

    Сложным фракталам присуща бесконечная  сложность, хотя и генерируются просто формулой.

      Классическим примером сложного  фрактала является множество  Мандельброта (рис. 3.3), получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C – комплексные числа и а – положительное число. На рисунке 3.3 мы видим фрактал    Рис. 3.3. Множество Мандельброта.                                    2-й степени, где а = 2.⁵ 

    К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних  выделяют бифуркации, которые изучает  теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2). Результатом расчетов являются следующие выводы: - при С < 1 популяция с ростом n вымирает; - в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; - при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса. Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке (рис. 3.4). 

    Динамические  переменные Xn принимают значения, которые  сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных  значений С итоговые значения могут  резко отличаться. Более того, расчеты  становятся некорректными, так как  начинают зависеть от случайных процессов  в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).  

    Рис. 3.4. Зависимость численности популяции от параметра С. 

    Таким образом, состояние системы в  момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие  может привести к выбору дальнейшего  пути движения, а это, как мы уже  знаем, является главным признаком  хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий). Фейгенбаум установил универсальные  закономерности перехода к динамическому  хаосу при удвоении периода, которые  были экспериментально подтверждены для  широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало «дерево Фейгенбаума» (рис. 3.5).

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой  стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные  природные явления. Так, поднимающийся  вверх дым сначала выглядит как  упорядоченный столб. Однако через  некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся  упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к  некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в  первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция  турбулентности дыма приближается к  хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

                          Рис. 3.5. Дерево Фейгенбаума.⁶ 
 

4. Броуновское движение 

    Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму (рис. 4.1), которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения. 

                          Рис. 4.1. Частотная диаграмма. 

    Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел  так же можно преобразовать в  музыку. Конечно этот тип фрактальной  музыки совсем не музыкален и может  действительно утомить слушателя. Занося на график случайно Броуновские  числа, можно получить Пылевой Фрактал  наподобие того, что приведен здесь  в качестве примера.

      Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для  создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как например Star Trek техника  Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато (рис. 4.2). 
 
 
 
 
 

Рис. 4.2. Ландшафт. 

    Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Мандельброт  использовал Броуновские линии  для создания фрактальных линий  побережья и карт островов (которые  на самом деле были просто в случайном  порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета. 

5. Движение бильярдного  шарика 

    Любой, кто, когда-либо брал в руки кий для  бильярда, знает, что ключ к игре - точность. Малейшая ошибка в угле начального удара может быстро привести к огромной ошибке в положении шарика всего после нескольких столкновений. Эта чувствительность к начальным условиям называемая хаосом возникает непреодолимым барьером для любого, кто надеется предсказать или управлять траекторией движения шарика больше чем после шести или семи столкновений. И не стоит думать, что проблема заключается в пыли на столе или в нетвердой руке. Фактически, если используеть компьютер для построения модели, содержащей бильярдный стол, не обладающий ни каким трением, нечеловеческим контролем точности позиционирования кия, все равно не удастся предсказывать траекторию шарика достаточно долго.

Насколько долго? Это зависит частич-но от точности компьютера, но в боль-шей степени от формы стола. Для совершенно круглого стола, можно просчитать приблизительно до 500 по-ложений столкновений с ошибкой око-ло 0.1 процента. Но стоит изменить форму стола так, чтобы она стала хотя бы немножко неправильной (оваль-ной), и непредсказуемость траектории может превышать 90 градусов уже после 10 столкновений!  
 

Рис. 5.1. Фазово-пространственная картина бильярдного стола. 

Единственный путь получить картинку общего поведения бильярдного шарика, отскакивающего от чистого стола  - это изобразить угол отскока или длину дуги соответствующую каждому удару. Здесь приведены два последовательных увеличения такой фазово-пространственной картины (рис. 5.1 и рис. 5.2).  

Рис. 5.2. Фазово-пространственная картина бильярдного стола. 

    Каждая  отдельная петля или область  разброса точек представляет поведение  шарика, происходящее от одного набора начальных условий. Область картинки, на которой отображаются результаты какого-то одного конкретного эксперимента, называется аттракторной областью для данного набора начальных условий.

    Как можно видеть форма стола, использованного  для этих экспериментов является основной частью аттракторных областей, которые повторяются последовательно  в уменьшающемся масштабе. Теоретически, такое самоподобие должно продолжаться вечно и если мы будем увеличивать  рисунок все больше и больше, мы бы получали все те же формы. Это  называется очень популярным сегодня словом фрактал. 

6. Интеграция детерминированных  фракталов и хаос 

    Из  рассмотренных примеров детерминистских  фракталов можно увидеть, что  они не проявляют никакого хаотического поведения и что они на самом  деле очень даже предсказуемы. Как  известно, теория хаоса использует фрактал для того, чтобы воссоздать или найти закономерности с целью  предсказания поведения многих систем в природе, таких как, например, проблема миграции птиц.

    Теперь  давайте посмотрим, как это в  действительности происходит, используя фрактал, называемый Деревом Пифагора и Броуновского движения (которое хаотично). Упорядочение листьев и веток на дереве довольно сложно и случайно и, вероятно не является чем-то достаточно простым, что может эмулировать короткая программа из 12 строк.

    Для начала нужно сгенерировать Дерево Пифагора (рис. 6.1). 

Рис. 6.1.

    Результат напоминает те старые детсадовские рисунки. Так что сделаем ствол толще (рис. 6.2). На этой стадии Броуновское движение не используется. Вместо этого, каждый отрезок линии теперь стал линией симметрии прямоугольника, который становится стволом, и веток снаружи.