Теория хаоса: понятие, принципы

Содержание:

   Введение…………………………………………………………………………….2

1. Теория хаоса: понятие, принципы……………………………………………...3
2. История вопроса…………………………………………………………………4
3. Инструменты теории хаоса……………………………………………………..6
4. Броуновское движение……………………………………………….………..13
5. Движение бильярдного шарика…………………………………………….…14
6. Интеграция детерминированных фракталов и хаос…………...……………..15
7. Области применения теории хаоса ………………………………………..….17

Заключение…………………………………………………………...…………….21

Список  использованной литературы…………………………………………..…22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

    Теория  хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к  исследованию рынка. К сожалению, точного  математического определения понятия  хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость  постоянного нелинейного и нерегулярного  сложного движения, возникающую в  динамической системе. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном  движении цены, то вы должны иметь ввиду  не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она  не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема. Непредсказуемость хаоса объясняется  в основном существенной зависимостью от начальных условий. Применительно  к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость  от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности  того, что взмах крыла бабочки  в Бразилии приведет к появлению  торнадо в Техасе. Один из главных  выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем - будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. То же самое по-простому - малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Теория хаоса:  понятие, принципы 

    Теория  хаоса - раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система - это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности. Вплоть до 1960-х годов многим казалось естественным полагать, что динамическая система, описываемая простыми детерминистическими уравнениями, должна вести себя относительно просто, хотя уже более столетия было известно, что это верно лишь в некоторых весьма специальных случаях, таких, как Солнечная система. Однако к 1980 математики и естествоиспытатели обнаружили, что хаос вездесущ. Пример хаотического поведения из повседневной жизни - движение жидкости в миксере. Это устройство подчиняется простым механическим законам: его нож-смеситель вращается с постоянной скоростью, и взаимодействие жидкости с ножом внутри миксера можно описать простыми детерминистическими уравнениями. Однако возникающее при этом движение жидкости весьма сложно. Ее соседние области рассекаются ножом и разделяются, а отдаленные области могут сближаться. Короче говоря, жидкость перемешивается - для этого миксеры и предназначены. Выражение "теория хаоса" используется преимущественно в популярной литературе. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.

    Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, пусть правилом будет "разделить на два". Начав с исходного состояния, задаваемого числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,..., образующие очевидную закономерную последовательность. Правило "возвести в квадрат и вычесть единицу", примененное к 0, дает последовательность -1, 0, -1, 0,..., которая циклически и неограниченно скачет между числами 0 и -1. Однако правило "возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу", если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел -0,98, 0,92, 0,69, -0,03,..., в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности. Основным понятием теории хаоса является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. Аттракторами для трех описанных выше систем являются: единственное число 0; пара чисел (0, -1); весь интервал чисел между -1 и 1. Динамика в этих трех случаях соответственно стационарная, периодическая и хаотическая. Хаотический аттрактор обладает скрытой структурой, которая часто становится явной после графического представления итераций. Состояние динамической системы - это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется. Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений. В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; этот термин был введен в 1970 Б.Мандельбротом. Его работы впоследствии стимулировали огромное количество исследований по фрактальной геометрии. Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Представим себе две частички порошка, находящиеся рядом друг с другом в жидкости внутри миксера. После включения миксера эти две частички недолго останутся рядом; они быстро разойдутся в разные стороны и вскоре начнут двигаться независимо. Подобным же образом, если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы. Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно¹. 

    2. История вопроса 

    Истоки  теории хаоса можно проследить начиная  с XIX века, когда появилась работа математика Жюля Анри Пуанкаре о движении тел в Солнечной системе. Эта  работа была удостоена Нобелевской  премии. Пуанкаре показал, что в отличие  от системы из двух тел, взаимное притяжение и движение которых описывается  достаточно просто в соответствии с  ньютоновским законом всемирного тяготения, для трех и более тел простого движения не находится. Пуанкаре показал, что даже в ограниченной задаче трех тел, масса одного из которых достаточно мала, возможно очень сложное движение, которое невозможно описать математической формулой.

    Множество примеров подобных явлений было разработано  американской и российской школами  в теории динамических систем. Очень  важными считаются вклады Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда.

    Сам термин «хаос» был предложен Джеймсом Йорке (James A. Yorke) и Тьен Йен Ли (Tien-Yien Li) в краткой статье, посвященной  обсуждению некоторых результатов  исследований российской школы.

    Наиболее  известным прикладным исследованием  в области теории хаоса является работа метеоролога Эдварда Лоренца (Edward Lorenz). Она получила развитие, и  теперь известно, что полные уравнения  поведения атмосферы ведут себя хаотически. Так что долгосрочные прогнозы погоды, основанные на данных о ее прошлом и текущем состоянии, подвержены «эффекту бабочки». Поэтому  погода не может быть предсказана  на более чем четыре или пять дней вперед, независимо от мощности используемых компьютеров.

    Теория  хаоса применима в биологии и  экологии. В конце XIX века Было установлено, что популяции животных развиваются  нестабильно. Периоды быстрого роста  и почти полного вымирания  нерегулярно чередуются. Однако эти  флуктуации могут быть описаны математически  без введения случайных внешних  воздействий. Теория хаоса также  объясняет и динамику развития эпидемий.

    С помощью теории хаоса описываются  «законы» фондовой биржи. А в начале 1990−х Жак Ласкар (Jacques Laskar) опубликовал  статью «Планетная система объята хаосом», где описал поведение Солнечной  системы, изменения орбит и наклона  осей планет. Его расчеты показывают, что в будущем Меркурий может  столкнуться с Венерой или  даже покинуть Солнечную систему. Может показаться, что теория хаоса не может найти применения в науке или повседневной жизни. Однако это не так. К числу наиболее перспективных применений теории относится «хаотическое управление». Неустойчивость системы может быть использована: ведь желаемый эффект по изменению таких систем может быть достигнут очень малым возмущением.

    Может показаться, что теория хаоса не может найти применения в науке  или повседневной жизни. Однако это  не так. К числу наиболее перспективных  применений теории относится «хаотическое управление». Неустойчивость системы  может быть использована: ведь желаемый эффект по изменению таких систем может быть достигнут очень малым  возмущением. Например, в 1985 году NASA отправило  космический зонд на встречу с  кометой Джакобини—Циннера. Он пять раз облетел Луну, используя хаотичность  взаимодействия трех тел, позволяющую  совершать большие изменения  траектории с малыми затратами топлива.

    Схема использования неустойчивости для  управления хаотическими системами  применялась во многих областях. Например, для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создания «интеллектуального» стимулятора  сердечного ритма. Тот же метод был  применен для синхронизации батареи  лазеров, управления биотоками мозга  и сглаживания турбулентного  течения жидкости (способен уменьшить  расход топлива самолетами).² 

    3. Инструменты теории  хаоса 

    Какими  же инструментами располагает теория хаоса? В первую очередь это аттракторы и фракталы.

    Аттрактор (от англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства.

    Итак, фазовое пространство - это абстрактное  пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две  степени свободы. Это движение полностью  определено начальной скоростью  маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет  замкнутая кривая.

    По  простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Самым простым  типом аттрактора является точка. Такой  аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в  состояние покоя, т.е. в точку. Следующим  типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой  кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться  и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей  замкнутой кривой. Третий тип аттрактора - тор.

    Несмотря  на сложность поведения хаотических  аттракторов, иногда называемых странными  аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение  системы в геометрической форме  и соответственно предсказывать  его. И хотя нахождение системы в  конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически  невозможно, область нахождения объекта  и его стремление к аттрактору предсказуемы. Первым хаотическим аттрактором  стал аттрактор Лоренца (рис. 3.1).

    Рис. 3.1. Аттрактор Лоренца. 

    Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего  трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы  и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система  Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.

    Смоделировав  свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному  накоплению ошибок и соответственно их расхождению. Вместе с тем, любой  аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может  продолжаться бесконечно.

    Рано  или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее  очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения  простых предсказуемых аттракторов. Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой.

    При схождении траектории сближаются и  начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется  эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной  информации.

    В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности  делать точные прогнозы. То, чем так  гордится наука - способностью устанавливать  связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно.