Задачи по "Высшей математике"

       или   . 

     Подставив , общее решение исходного уравнения запишем в виде , а после преобразования . 

     Задача 38 

     Найти область сходимости степенного ряда  

      . 

     Решение 

     Составим  ряд из абсолютных величин  

      , 

     По  признаку Даламбера имеем:

      ,  

     следовательно , , , и на интервале ряд сходится.

     Проверим  его сходимость на концах интервала:

     1) Пусть  . Тогда - знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница: 

     Задача  14 

     Вычислить с точностью до . 

     Решение 

     Разложив  в ряд  и поделив почленно на , получим: 

     

     

      .

     Выбираем функцию такой, чтобы .

     Тогда .

     Интегрируем и находим или .

     Подставив найденную функцию в (1), получим  ещё одно уравнение  

      ,   ,  ;  . 

     Следовательно, - общее решение заданного уравнения. 

     Задача  42 

     Найти общее решение дифференциального  уравнения:  

      . 

     Решение 

     Составим  характеристическое уравнение  

      . Так как и , то общим решением будет  

      . 

     Частное решение неоднородного уравнения  подбирается в зависимости от вида функции .

1. Пусть , , представляет собой многочлен степени с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:

 

      ,

     где - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а - число корней характеристического уравнения, равных нулю. 

     Задача  43 

     Найти общее решение уравнения  . 

     Решение 

     Ищем  общее решение в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения. Так как - многочлен первой степени и один корень характеристического уравнения , то частное решение надо искать в виде  

      . 

     Подберем  коэффициенты и так, чтобы решение удовлетворяло данному уравнению

 

      ,

      ,

      . 

     Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим

       

     Следовательно, , а - искомое общее решение.

2. Пусть . Тогда частное решение неоднородного уравнения , где - число корней характеристического уравнения, равных .

 

     Задача  44 

     Найти общее решение уравнения  . 

     Решение 

     Ищем  решение в виде . Решим однородное уравнение . Корни характеристического уравнения равны и . Следовательно, . Частное решение ищем в виде (так как , ). Найдем , а . Подставляя , и в исходное уравнение, получим  

      ,

      , , .

     Значит, - частное решение, а - общее решение.

3. Правая часть , где , , - заданные действительные числа. В этом случае частное решение ищется в виде

 

      ,

     где: и - неизвестные коэффициенты;

      - число корней характеристического  уравнения, равных .  

     Задача  45 

     Найти общее решение уравнения . 

     Решение 

     Ищем  общее решение в виде . Имеем:

      , , , ,

     значит, . Функция , поэтому не совпадает с корнями характеристического уравнения . Следовательно,  

      ,

     

      . 

     Подставив , и в данное уравнение, получим  

      . 

     Приравняв коэффициенты при и , найдем 

       

     Значит, - частное решение, а

      - общее решение уравнения. 

     Задача  46 

     Исследовать сходимость ряда .

 

      Решение 

     Найдем  : 

      ,

     следовательно, исходя из необходимого признака, ряд расходится. 

     Задача  47 

     Исследовать сходимость ряда 

       

     Решение 

     Применим  признак Даламбера:  

      ,

      ,

      , 

     следовательно, ряд сходится.

 

      Задача 48 

     Исследовать на сходимость ряда 

      . 

     Решение 

     Сравним данный ряд с рядом  :  

      .

     матрица задача алгебраическая ряд уравнение

     Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково. Ряд расходится , следовательно, и данный ряд тоже расходится.

Размещено на http://www.