КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

     Решение задач по высшей математике

 

      Задача 1 

     Вычислить определители:  

      ;

      . 

     Решение 

      ,

       

     Задача  2 

     Вычислить определитель:  

      .

 

      Решение 

     Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца  

      . 

     Задача  3 

     Найти матрицу, обратную к матрице  . 

       

     Решение 

     Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения : 

      ;  

      ;

      ; 

      ;

      ;

      ;

      ;

      ;

      ;

      . 

     Ответ: Обратная матрица имеет вид: 

      . 

     Задача  4 

     С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы 

      .

 

      Решение 

     Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю  строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим 

      . 

     Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем 

     

        . 

     Ответ: Ранг матрицы равен двум. 

     Задача  5 

     Решить  следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

      ; 

     Решение 

     Вычислим главный определитель системы и вспомогательные определители , , . 

      .

      ;

      ;

      . 

     По  формуле Крамера, получим 

      ;

      ; .

     Задача  6 

     Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение. 

       

     Решение 

     Матрица и имеют вид

     

      ,

      . 

     Их  ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему  

       

     Считая и известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид

      ;  , 

     где , - могут принимать произвольные значения. Пусть , где Тогда ответом будет служить множество 

       

       

     Задача  7 

     Даны  начало и конец вектора . Найти вектор и его длину. 

     Решение 

     Имеем , откуда или .

     Далее , т.е. . 

     Задача  8 

     Даны  вершины треугольника , и . Найти с точность до угол при вершине .

 

      Решение 

     Задача  сводится к нахождению угла между  векторами  и :  

      , ; . Тогда , . 

     Задача  9 

     Даны  вершины треугольника , и . Вычислить площадь этого треугольника. 

     Решение 

     Так как площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы и :  

      ; ; . 

     Вычислим  их векторное произведение: 

      ,

      , 

     Откуда 

      . Следовательно,  (кв. ед.).  

     Задача  10 

     Даны  вершины треугольной пирамиды , , и . Найти ее объем. 

     Решение 

     Имеем , и . Найдем векторное произведение 

      ,

      . 

     Этот  вектор скалярно умножим на вектор : 

      . 

     Это смешанное произведение можно найти  непосредственно по приведенной  формуле:

     

      . 

     Следовательно, объем: 

      , (куб. ед.). 

     Задача  11 

     Составить уравнение прямой, проходящей через  точки  и .  

     Решение 

     За  первую вершину примем (на результат это не влияет); следовательно, 

      ,

      ,

      ,

      .

     Имеем

 

      , , , 

     Ответ: - общее уравнение искомой прямой.

     Задача  12 

     Составить уравнение прямой, проходящей через  точку  , параллельно и перпендикулярно прямой .  

     Решение 

     Найдем  угловой коэффициент данной прямой: . Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен , а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:

     1) параллельной: , - общее уравнение прямой, параллельной данной;

     2) перпендикулярной: , - общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной. 

     Задача  13 

     Найти расстояние между двумя параллельными  прямыми  и . 

     Решение 

     Выберем на одной из данных прямых точку  . Пусть . Для определения координат точки на прямой одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём ; тогда , и . По формуле расстояния от точки до прямой находим: 

      ; . 

     Задача 14 

     Исследовать на абсолютную и условную сходимость 

      . 

     Решение 

     Проверим  выполнение условий теоремы Лейбница  

     а)

     б)  

     (при  вычислении предела применялось  правило Лопиталя). Условия выполняются,  следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

     Имеем:  

     

     Тогда по признаку Даламбера: 

      , и ряд, составленный из абсолютных  величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд сходится абсолютно.  

     а)

     б) , 

     следовательно ряд  - сходится. 

     2) Пусть  . Тогда . Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом . Имеем  

      . 

     Таким образом, ряд  - расходится.

     Ответ

     Область сходимости ряда есть интервал . 

     Задача  15 

     Вычислить предел . 

     Решение 

     Для вычисления этого предела непосредственно  применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида , для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной , т.е. на : 

      ,

     так как  при . 

     Задача  16 

     Вычислить придел

 

      Решение 

     Так как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители 

      , где  - его корни.

     Тогда

 

      . 

     Задача  17 

     Вычислить предел . 

     Решение 

     Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

      . 

     Задача  18 

     Вычислить предел . 

     Решение 

     Легко убедиться, что  и при .