Задачи по "Математике"

 

Требуется:

1)в прямоугольной  системе координат построить  эмпирические ломаные регрессии  Y на X и X на Y, сделать предположение  о виде корреляционной связи; 

2) оценить  тесноту линейной корреляционной  связи; 

3) проверить  гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции, при уровне значимости α = 0,05;

4) составить  линейные уравнения регрессии  Y на X и X на Y, построить их графики  в одной системе координат; 

5) используя  полученное уравнение регрессии,  оценить ожидаемое среднее значение  признака Y при х₀ = 15. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Решение

1. Для построения эмпирических ломаных регрессии вычислим условные средние и Вычисляем . Так как при х = 8 признак Y имеет распределение

 то условное  среднее  . 

При х = 13 признак Y имеет распределение

 

тогда .

Аналогично  вычисляются все  и . Получим таблицы, выражающие корреляционную зависимость Y от X и X от Y (табл.4).

 
 

В прямоугольной системе координат построим точки А_i(х_i, ), соединим их отрезками, получим эмпирическую линию регрессии Y на X. Аналогично строятся точки В _j( ,y_j) и эмпирическая линия регрессии X на Y (см. рис. 1).

                

                    

                      
 

                                                             
 
 
 

Построенные эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y свидетельствуют о том, что между выработкой на одного рабочего (X) и фондоотдаче (Y) существует линейная зависимость. Из графика видно, что с увеличением X, уменьшается, поэтому можно выдвинуть гипотезу об обратной линейной корреляционной зависимости между выработкой на одного рабочего и фондоотдаче.

2. Оценим тесноту связи. Вычислим выборочный коэффициент корреляции.

  

, , ,

   

, , ;

  

, ;

;

;

;

;    ;

.

Это значение r_в говорит о том, что линейная связь между выработкой на одного рабочего и фондоотдаче высокая. Этот вывод подтверждает первоначальное предположение, сделанное исходя из графика.

3. Проверим гипотезу о значимости найденного коэффициента корреляции r_B = -0,84 при заданном уровне значимости α = 0,05. Для этого выполним следующий алгоритм:

1) рассчитаем  наблюдаемое значение критерия

2) найдём  критическую точку распределения  Стьюдента (приложение 4)

;

3) так  как |t_набл|>t_кр, то нулевая гипотеза отвергается, т.е. r_B = -0,84 – значим, а между показателями выработки на одного рабочего и фондоотдачи существует линейная корреляционная связь.

     4. Запишем уравнения регрессии:

,      .

Подставляя в эти уравнения найденные величины, получаем искомые уравнения регрессии:

1) уравнение  регрессии Y на X:

       или ;

2) уравнение  регрессии X на Y:

       или .

  Построим графики найденных уравнений регрессии.

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контроль: точка пересечения прямых линий  регрессии имеет координаты . В нашем примере: С(19,4; 1,96).

     5. Найдём среднее значение Y при х=15 тыс. руб., используя уравнение регрессии Y на X. Подставим в это уравнение х=40, получим

.

Ожидаемое среднее значение фондоотдачи при заданной выработке на одного работника (х=15) составляет 1,87 руб.

     Так как данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то перейдем к условным вариантам:

, ,

где h₁ – шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами x_i;

С₁ – «ложный нуль» вариант x_i (в качестве «ложного нуля» удобно принять варианту, которая расположена примерно в середине ряда);

h₂ – шаг вариант Y;

С₂ – «ложный нуль» вариант Y.

В этом случае выборочный коэффициент корреляции

, где , ,

, .

Зная эти величины, определим

, , , .

Так в данном примере С₁ =18, h₁=5, С₂=1,75, h₂=0,25; , . 

 

;

;

;

; ;

;

;

;

; ;

;  . 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы: 

1. Вентцель  Е. С. Овчаров А. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М. : Академия, 2003.
2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Высшая школа, 1997.
3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М. : Высшая школа, 1997.
4. Лихолетов И. И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. – Минск : Вышэйшая школа, 1976.
5. Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск : Вышэйшая школа, 1976.
6. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.2. – М. : Высшая школа, 1983.
7. Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Статистика, 1970.
8. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Юнити, 2004.
9. Тиунчик М. Ф. Теория вероятностей (случ.события): Учебное пособие. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2000.
10. Тиунчик М.Ф. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1999.
11. Эддоус М., Стенфилд Р. Методы принятия решения. – М. : ЮНИТИ, 1997.