Задачи по "Математике"

Содержание: 

Задача  № 3………………………………………………………………………3

Задача  № 23………………………………………………………………….….4

Задача  № 43……………………………………………………………………..5

Задача  № 63…………………………………………………………………..…7

Задача  № 83………………………………………………………………….…9

Задача  № 103………………………………………………………………….12

Список  использованной литературы………………………………………..18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 3 

В партии 100 изделий, из которых 4–бракованные. Партия произвольно  разделена на две равные части, которые  отправлены двум потребителям. Какова вероятность того, что все бракованные изделия достанутся одному потребителю.

Решение

Обозначим события  и гипотезы:

А – изделие  бракованное.

Н₁ – все бракованные изделия достались первому потребителю.

Н₂ – все бракованные изделия достались второму потребителю.

Тогда вероятности:

р(А) =

Тогда искомая  вероятность равна:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 23 

В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти  вероятность того, что из девяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы менее двух договоров.

Решение

Воспользуемся формулой Бернулли:  P_n (m)  =  C_n^m p^m  q ^n-m   , где    q = 1 – p.  

n = 9;   p = 0,15 ;   q = 0,75.

 P₉  (0  ≤ m  < 2)  =   P₉ (0)   +   P₉ (1) =  C₉⁰ (0,15)⁰ (0,85)⁹  +  + C₉¹ (0,15)¹   (0,85)⁸  =  0,2316 + 0,3679 = 0,5995; 

Ответ: P₉  (0  ≤ m  < 2)  =   0,5995. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 43 

Контрольная состоит  из трёх вопросов. На каждый  вопрос приведено 4 ответа, один из которых  правильный. Составить закон распределения  числа правильных ответов при  простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения и построить её график.

Решение

      Вероятность правильного ответа при простом угадывании равна   р = 0,25.

      Х – число ответов до угадывания правильного ответа:

х₁=0 –   были даны все правильные ответы;

х₂=1 –   угаданы  два правильных ответа;

х₃=2 –   угадан один правильных ответ;

х₄=3 –   ни один ответ не был правильным.

      Найдём  соответствующие этим значениям  вероятности. По условию вероятности  угадывания правильного ответа: р=0,25;   q = 1 – p =0,75, тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:

P₁ (X=0) = p =  0,25 ∙ 0,25 ∙ 0,25 = 0,02.

P₂ (X=1) = 3p ∙ q  ∙ p = 3 ∙ 0,25 ∙ 0,75 ∙ 0.25 = 0,14.

P₃ (X=2) = 3p ∙ q ∙ q    = 3 ∙ 0,25 ∙ 0,75 ∙ 0,75  = 0,42.

P₄ (X=3) = q ∙ q ∙ q = 0,75 ∙ 0,75 ∙ 0.75 = 0,42.

Проверка: P=P₁(X=0)+P₂(X=1)+P₃(X=2)+P₄(X=3)=0,02 + 0,14 + 0,42 + 0,42 = 1

      Закон распределения имеет вид:

 

Найдем  математическое ожидание и дисперсию  этой случайной величны.

по формуле       находим математическое ожидание Х: 

М(Х) = 0 × 0,02  +  1 × 0,14  +  2 × 0,42  +  3 × 0,42 =  2,24;

по формулам      D(Х)   =   M (Х²)  - [ M(Х)]²     и    найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

=  0² × 0,02  +  1² × 0,14  +  2² × 0,42  +  3² × 0,42  =  5,66.

D(Х) = 5,6  -  (2,24)²  =  0,58 ; s(Х)  =    =  0,76;

в) по определению  F(x)  =  P(X < x ) , т.е. F(x)  есть вероятность того, что случайная X  примет значение меньше, чем х.

Если  х £ 0, то  F(x) = P(X < 0) = 0.

Если  0 < x £ 1, то    F(x) = P(X < 1) = P(X=0) = 0,02.

Если  1 x £  2, то F(x) = P(Х < 2) = P(X=0)+(X=1) = 0,02+0,14  =  0,16.

Если 2< x £ 3, то F(x) = P(Х<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,02+0,14+0,42 = 0,58.

Если  х>3, то F(x) = P(Х<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,02+0,14+0,42+0,42  = 1.

Построим  график F(x):

 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 63 

Текущая цена акции  может быть смоделирована с помощью  нормального закона распределения  с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением σ = 0,25. 

Требуется:

а) записать функцию  плотности вероятности случайной величины Х – цена акции и построить её график;

б) найти вероятность  того, что случайная величина Х  примет значения, принадлежащие интервалу (a, b);  α = 16,9;  β = 17,3.

в) найти вероятность  того, что абсолютная величина  çХ– ç окажется меньше ε = 0,7. 

Решение

    а) Запишем функцию плотности  вероятности случайной величины  Х – цены акции по формуле

f(х) =  . Получим

f(х) = 

.

Построим график функции плотности вероятности:

 

    б) найдем вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (16,9; 17;3):

Р(16,9 < Х < 17,3 )  =  Ф   - Ф =  Ф (1,2) + Ф (0,4) = 0,3849+  0,1554=  0,5403;

(Значения  Ф(Х) нашли по таблице значений  функции  (Приложение 3))

     в) Р ( < 0,7 ) = 2Ф = 2Ф    = 2Ф (2,8) = 0,9948.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 83 

Получены  следующие данные о государственных  закупках товаров и услуг (усл.д.ед.):

331 346 362 385 404 411 419 429 435 437 441 445 458

468 469 477 481 491 507 518 536 542 543 544 544

Требуется:

1) по  несгруппированным данным найти  выборочную среднюю;

2) найти  доверительный интервал для оценки  неизвестного математического ожидания  признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак  X распределён по нормальному  закону; известно g = 0,95 –надёжность и s = 55 – среднее квадратическое отклонение;

3) составить  интервальное распределение выборки  с шагом h= 50, взяв за начало первого интервала х₀= 325;

4) построить  гистограмму частот;

5) дать  экономическую интерпретацию полученных  результатов.

Решение

1) Найдем выборочную среднюю по формуле :

2) По условию n = 25; s = 55; g = 0,95. =456,92;. По таблице значений функции находим t из условия Ф(t) = , получаем t = 1,96. По формуле находим доверительный интервал:

  

,

  

,

  

. 

3) Для составления интервального распределения составим таблицу. В первой строке расположим в порядке возрастания интервалы, длина каждого из которых h=50. Во второй сроке запишем количество значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал).

 

Объём выборки n=3 + 4 + 8 + 5 + 5 = 25.

4) Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные  интервалы  на  каждом  из них строим прямоугольники высотой .

    
 
 
 
 

 

               

          8/50 
 
 
 

      5/50

             

             3/50  
 
 

                                                                                                       Х_i

      325 375 425 475 525 575                                  

Площадь каждого прямоугольника равна частоте интервала, на котором он построен. Сумма площадей этих прямоугольников равна объёму выборки. 

5) Средняя стоимость государственных закупках товаров и услуг труда для изученных предприятий составила = 456,92 усл.д.ед. По анализу доверительного интервала можно сделать вывод,  что с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что средний размер стоимости государственных закупок товаров и услуг генеральной совокупности находится в пределах от 435,36 усл.д.ед до 478,48 усл.д.ед. Интервал ±21,56 составляет примерно ±4,7% среднего размера стоимости государственных закупок в выборке (456,92). Это не очень большое отклонение, поэтому среднее значение выборки можно считать надёжной оценкой среднего значения генеральной совокупности. Однако существует вероятность, равная 0,05 того, что можно получить значение вне доверительного интервала. 
 
 

Задача № 103 

В таблице  дано распределение 50 производственных объединений по выработке на одного работника X тыс.руб. и фондоотдаче  У руб.: