Статистические методы обработки экспериментальных данных

Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение) 

4.Построение  графика теоретической  плотности распределения. 

      Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения,  нужно определить значения параметров  и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

                              MX = а , 

                              DX = σ²

     Поскольку значения математического  ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими  точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные  равенства  MX » , DX » s² , что позволяет найти значения параметров распределения.

         По исходным данным была выдвинута  гипотеза о нормальном распределении  изучаемой случайной величины. Найдем  параметры этого распределения:

          _

          x = а,    15,9 = а,   а=15,9

          s²= σ²   53,78 = σ²   σ=7,33 

            

Следовательно, плотность предполагаемого распределения  задается формулой

F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e^{[-(x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]}=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))

      Теперь необходимо вычислить значения  f(x_i) плотности f (x) при x=x_i (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:

 

значения фунцкии

при u=u_i находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике. 

              =15,9; s = 7,33

    Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической  плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (x_i ; f(x_i)) и соединяем их плавной кривой.

                                                                   

     5.Проверка гипотезы  о распределении  с помощью критерия  согласия Пирсона.

    Ранее  была выдвинута гипотеза о  законе распределения рассматриваемой  случайной величины. Сопоставление  статистического распределения  (гистограмма)  и предполагаемого  теоретического (графика плотности)  показывает наличие некоторых  расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1. Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

 

2. Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

 

          Для выбора первого или второго  варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация   чего-либо.

          Существуют различные критерии  согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c² («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

           Критерий Пирсона выгодно отличается  от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и,  во – вторых, простотой вычислительного  алгоритма.

           Правило проверки статистических  гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах. 
 

Группировка исходных данных. 

          Применяется критерий Пирсона  к сгруппированным данным. Предположим,  что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через n_I количество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ån_I = n.

           Отметим, что критерий c² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1. количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;
2. в каждом промежутке окажется не менее  5…10  результатов измерений, т.е. n_i ³5 при любом i;  если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

        

          Пусть концами построенного разбиения  являются точки z_i , где z₁ < z₂  < … < z_{i – 1} , т.е. само разбиение имеет вид

                 (- ¥ º z₀; z₁) ,  [ z₁; z₂) ,  [ z₂; z₃) , … , [ z_{i – 1}; z_i º + ¥).

      

          После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на  - ¥, а самой правой на  + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона: 
 

 
 
 

                                           
                      

        

• Вычисление  теоретических частот. 
  

        Критерий Пирсона основан на  сравнении  эмпирических (опытных)  частот с теоретическими. Эмпирические  частоты n_I определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

                                               = n × p_i ,

где n – количество испытаний, а p_i º R (z_{i –1} < x <  z_i) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £ i £ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

     


     
 
 
 
 
 
 


   Процедура  отыскания теоретических вероятностей  и частот показана в расчетной  таблице:                                       _

                                                 n = 100; а=x= 15,9;  σ= s=7,33

i	Концы промежутков		Аргументы фунцкции Ф0		Значения  функции  Ф0		Pi= Ф0(ui)- Ф0(ui-1)	ν1’=npi
	zi -1	zi	Ui-1= (zi-1-x)/s	Ui= (zi-x)/s	Ф0(ui-1)	Ф0(ui)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	-∞ 6 9 12 15 18 21 24     27 30	6 9 12 15 18 21 24 27 30 +∞	-∞ -1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92	-1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92 +∞	-0,5000 -0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726	-0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 0,5000	0,0885 0,0851 0,1245 0,1541 0,1619 0,1439 0,1085 0,0680 0,0381 0,0274	8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,80 3,81 2,74

                                                                                                     å:     1,0000    100,00                               
 
 
 


•  
  
•  
  
• Статистика  c² и вычисление ее значения по опытным данным. 
  

      Для того чтобы принять или  отвергнуть гипотезу о законе  распределения изучаемой случайной  величины, в каждом из критериев  согласия рассматривается некоторая  (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

       В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина 


                                           ,

называемая  статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда      c² ³0, причем c² = 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают.  Во всех остальных случаях c² ¹ 0; при этом значение c²  тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты. 


         Прежде чем рассказать о применении  статистики c²  к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c²_набл.. 
 
 
 
 
 


i	ni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10 9 11 14 18 13 11 7 4 3	8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,8 3,81 2,74	0,15 0,03 0,17 0,13 0,20 0,13 0,00 0,01 0,01 0,02

                                                :   100      100               0,85 


                                                  c²_набл. = 0,85 
 


       5.4.  Распределение  статистики   c². 


          Случайная величина имеет  c² – распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид 


                    

где c_r – которая положительная постоянная ( c_r определяется из равенства ).             Случайная величина, имеющая распределение c²  с r степенями свободы, будет обозначаться .

           Для дальнейшего изложения важно  лишь отметить, что, во – первых, распределение    определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины   в любой промежуток.

           Вернемся теперь к статистике  . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности p_i  и теоретические частоты = n × p_i )

        Если выдвинутая гипотеза верна,  то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики  практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при распределение статистики стремится к - распределению с r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

         Если в качестве предполагаемого  выбрано одно их трех основных  непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае

                                                

где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

           Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это  а и s для нормального распределения.

         Следовательно

R=i-N_пар-1=10-2-1=7                       
 
 


5.   Правило проверки  гипотезы о законе  распределения случайной  величины.
 


               Ранее отмечалось (и этот факт  очевиден), что статистика принимает только не отрицательные значения (всегда c² ³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при для каждого i).

              Если выдвинутая гипотеза о  законе распределения изучаемой  случайной величины соответствует  действительности, то эмпирические  и теоретические частоты должны  быть примерно одинаковы, а  значит, значения статистики будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .

               Поэтому хотелось бы найти  тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством . 
 
 


          Область принятия      Критическая область

              гипотезы

 


        0                                                    

         Как же найти критическое значение  ?

         Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие { } должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :

                                                    

называется  уровнем значимости.

          Чтобы определить критическое  значение  , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем как уровень уравнения

                                                       

с неизвестной  x. Поскольку распределение статистики близко при к - распределению с r степенями свободы, то

                                                    

и приближенное значение можно найти из уравнения

                                             

            Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x > 0, при котором площадь под графиком функции (плотности - распределения) над участком равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости  и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и   r,что при необходимости отражают и в обозначениях: ).

              Зададим уровень значимости как  = 0,05 (условие курсовой работы) .

              Подводя итоги, сформулируем  правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:

1. Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n ³ 100).
 

2. Разбивают всю числовую ось на несколько (как  правило, на 8…12) промежутков

                        

 так, чтобы  количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической    

 частотой  ) оказалось не менее пяти (т.е. ³ 5 при каждом i). 


3. Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения  изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).
 

4. С помощью  предполагаемого (теоретического) распределения  находят теоретические вероятности  p_i и теоретические частоты = n × p_i попадания значений случайной величины в i-й промежуток.
 

5. По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют  значения статистики , обозначаемое через c²_набл..
 

6. Определяют  число r степеней свободы.
 

7. Используя заданное значение уровня значимости и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .
8. Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез:

                если наблюдаемое значение критерия  принадлежит критической области,  т.е. если  , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

                если наблюдаемое значение критерия  принадлежит области принятия  гипотезы, т.е.  , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента. 


6. Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных  данных в варианте.
 


           Правило проверки выдвинутой  гипотезы о законе распределения  изучаемой случайной величины  для данного варианта реализовано  в таблице: 


Название  величины	Обозначение и числовое значение величины
Уровень значимости (задан в условии)	= 0,05
Количество  промежутков разбиения	l =10
Число степеней свободы	r=7
Критическое значение (находится по таблице)	=
Наблюдаемое значение критерия	c2набл.  = 0,85
ВЫВОД	Гипотеза  не принимается для данного 9 варианта, поскольку : 83,5 << 15,51

Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости = 0,05 означает, что

                                                 ,

т.е. вероятность события { } очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.

          2. Иногда вместо уровня значимости задается надежность :

                                                    

т.е. - это вероятность попадания значений статистики в область принятия гипотезы. Поскольку события

                                                 { } и

противоположны, то