Собственные векторы, собственные значения линейного оператора

На основе теоремы Гильберта  получена полная классификация нормальных линейных операторов (в пространстве любой размерности) с точностью  до унитарной эквивалентности [11]; в  частности, оказывается, что каждый нормальный Л. о. унитарно эквивалентен оператору умножения на ограниченную измеримую функцию в  где  - нек-рое измеримое пространство с конечной мерой. Для компактных нормальных Л. о. в сепарабельном пространстве картина упрощается: такой Л. о. обладает ортонормированным базисом из своих собственных векторов и тем самым унитарно эквивалентен действующему в l2 оператору умножения на последовательность (необходимо сходящуюся к нулю).

В случае нормального Аспектральная теорема позволяет придать смысл выражению функции f(А).для более широкого класса функций на спектре, чем голоморфные функции, напр. для непрерывной f Л- о. f(A).определяется как  При этом, если Асамосопряжен, то Л. о. ехр(iA) унитарен.

Основные усилия сосредоточены  на изучении различных классов не нормальных Л. о., в первую очередь  абстрактных вольтерровых операторов, сжимающих операторов и спектральных операторов (см. [11] - [13]). Хотя закономерностей, сравнимых по законченности со спектральной теоремой, пока (1982) не обнаружено, все же в этом направлении получены глубокие результаты.

Развитие анализа и  его приложений, в первую очередь  дифференциальных уравнений и квантовой  механики, заставило выйти за рамки  класса ограниченных (т. е. непрерывных) Л. о. Строго говоря, неограниченный оператор Ав Нне есть Л. о. в принятом здесь смысле, т. к. он задан не на всем Н, а лишь на его, как правило, плотном подпространстве. Типичные примеры - Л. о. умножения на хи дифференцирования в L1(R). Для неограниченных Л. о. определены аналоги спектра, сопряженного Л. о. и рассмотренных выше классов Л. о. Хотя их теория сложнее теории ограниченных Л. о., ряд глубоких результатов последней нашел содержательные обобщения. Важнейшим среди них является аналог спектральной теоремы, найденный Дж. Нейманом (J. Neumann) для неограниченных самосопряженных операторов.

Лит.:[1] Реanо G., Calcolo geometrico secondo l'Ausdelmungslehre di H.. Grassmann, Torino, 1888; [2] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [3] Т о е р l i t 7. О., "Rend. Circolo mat. Palermo", 1909, v. 28, p. 88-96; [4] Банах С., Курс функционального аналiзу, Киiв, 1948; [5] Т а у l о r J., "Adwances Math.", 1972, v. 9, № 2, p. 183-252; [6] Энфло П., "Математика", 1974, т. 18, № 1, с. 146-55; [7] Шефор X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [8] Функциональный анализ, 2 изд., М., 1972 (Справоч. матем. б-ка); [9J Ломоносов В. И., "Функц. анализ и его прилож.", 1973, т. 7, № 3, с. 55-об; [10] Н i 1 b е r t Х D., Grundzijge einer allgemeinen Theoric der linearen Integralgleictmngen, Lpz.- В., 1912; N. Y., 1953; [11] Д а н ф о p д Н., Шварц Д ж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [12] их же, Линейные операторы, пер. с англ., т. 2, М., 1966; [13] их же, Линейные операторы. Спектральные операторы, пер. с англ., М., 1974; [14] Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г., Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, М., 1967; [15] Секефальви-Надь Б., Ф о я ш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. с франц., М., 1970; [16] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962. А. Я. Хелемский.