Собственные векторы, собственные значения линейного оператора

 

Помимо этого в теории Л. о. между пространствами с топологией важны задачи об аппроксимации различных  классов Л. о. операторами сравнительно простого строения. Значительную роль играют задачи о нахождении общего вида Л. о. в конкретных, чаще всего  функциональных, пространствах.

 

Среди инвариантов подобия  наиболее важны спектр и количество инвариантных подпространств данной размерности. Пусть А - Л. о. в Е. Его спектром наз. подмножество  в k, состоящее из тех для к-рых  не имеет обратного. Подпространство Е 0 в Еназ. инвариантным относительно А, если из  следует . Помимо ядра и образа Л. о. примерами служат одномерные подпространства, содержащие т. н. собственные векторы оператора, т. е. те  для к-рых . При этом элемент К, наз. собственным значением Л. о. А, заведомо принадлежит его спектру.

 

Понятие Л. о. является специальным  случаем понятия морфизма модулей, к-рое получается при замене поля на произвольное кольцо. Морфизмы модулей во многом не похожи по свойствам на Л. о., однако именно результаты о последних явились одним из стимулов к их изучению.

 

Линейные операторы в  конечномерных пространствах (без  дополнительной структуры). Основным аналитич. аппаратом таких Л. о. является матричная запись. Пусть Еи F - пространства с фиксированными базисами  - Л. о.,  есть i-й коэффициент разложения Ае j по второму базису. Тогда -матрица  наз. матрицей Л. о. Ав базисах ej и fj. При E=F обычно употребляется матричная запись в совпадающих базисах (т. е. ). При переходе к другим базисам матрица Л. о. изменяется по простым формулам.

 

Различным характеристикам  Л. о. отвечают, как правило, эффективно вычисляемые характеристики их матриц. Напр., dim Im А =r( М A).и dim Кеr A = dim Е-r( М A), где r - ранг матрицы; в частности, А - изоморфизм, если и только если dim E=dim F=r( М А);последнее условие эквивалентно отличию от нуля определителя матрицы М A. Алгебраич. операциям над Л. о. соответствуют одноименные операции над их матрицами, взятыми в фиксированных базисах.

 

Л. о. подобны тогда и  только тогда, когда они могут  быть записаны (каждый в "своем" базисе) одной и той же матрицей. Собственные  значения Л. о. суть корни характеристич. многочлена его матрицы. Отсюда следует, что всякий Л. о. в конечномерном пространстве над алгебраически замкнутым полем (напр., ) обладает хотя бы одним собственным вектором. Спектр Л. о. в конечномерном пространстве над любым полем есть множество его собственных значений.

 

Проблема классификации  эндоморфизмов конечномерных пространств  над алгебраич. замкнутым полем полностью решена, и классы подобия описаны в терминах спектров и инвариантных подпространств. Основным шагом здесь является следующая классич. теорема, открытая К. Жорданом (С. Jordan) (рассматривавшим поле ). Матрица с фиксированным на главной диагонали, единицами непосредственно над ней и нулями на остальных местах наз. ж о р д а н о в о й к л е т к о й, а блок-матрица с жордановыми клетками (разных размеров и с разными ) на главной диагонали и нулями на остальных местах - жордановой матрицей. Тогда каждый эндоморфизм может быть записан в нек-ром базисе жордановоц матрицей. Отыскание такого базиса наз. приведением Л. о. к жордановой форме. Поскольку Л. о., записанные жордановыми матрицами, подобны в том и только в том случае, когда эти матрицы совпадают с точностью до перестановки жордановых клеток, теорема означает, что жордановы матрицы доставляют, после соответствующего отождествления, полный набор инвариантов подобия.

 

Непрерывные линейные операторы  в банаховых пространствах. Основы их теории заложены С. Банахом (см. [4]).

 

Примеры. 1) В lp (здесь и далее  ): Л. о. умножения на ограниченную числовую последовательность; Л. о. левого (соответственно правого) сдвига, переводящий (соответственно в ' ).

 

2) В  Л. о. умножения  на непрерывную функцию ; Л. о. неопределенного интегрирования, переводящий f(x).в

 

3) В  Л. о. сдвига  на  переводящий f(x)в g(x)=f(x+t).

 

4) Из  "классический" оператор Фурье, переводящий j(х).в 

 

Л. о.  между банаховыми пространствами непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен, т. е. образ каждого ограниченного множества в Еограничен в F, или, что эквивалентно, существует (конечное) число наз. операторной нормой (аналогичное утверждение верно и для любых нормированных пространств). Непрерывные Л. о. из Ев Fобразуют в L(E, F).подпространство В( Е, F), являющееся банаховым относительно нормы Подпространство В( Е, Е), чаще обозначаемое В(Е), является и банаховой алгеброй относительно операторного умножения. Класс указанных алгебр универсален в том смысле, что всякая банахова алгебра топологически изоморфна подалгебре в В(Е).для нек-рого Е. Подмножество в В( Е, F), состоящее из топологич. изоморфизмов, открыто и при E = F содержит шар единичного радиуса с центром в 1.

 

Фундаментальную роль в "банаховой" теории Л. о. играют две теоремы, к-рые вместе с Хана - Банаха теоремой (см. также Линейный функционал).наз. тремя основными принципами линейного анализа. Простейшая форма "принципа равномерной ограниченности" - это теорема Банаха - Штейнхауза: если для непрерывных Л. о.

 

 при каждом  Простейшая  форма "принципа открытости  отображения" - это теорема Банаха: если непрерывный Л. о. обладает обратным, то этот обратный оператор заведомо непрерывен. Требование "банаховости" (полноты) пространств существенно в обеих теоремах.

 

Спектр непрерывного Л. о.  рассматриваемый, как правило, для  комплексных пространств, является непустым компактом в  В случае бесконечномерного пространства множество собственных значений Л. о., называемое точечным спектром, вообще говоря, составляет лишь часть Для остальных всегда  эти числа распадаются на два множества - так наз. непрерывный спектр и остаточный спектр, смотря по тому, плотен  в Еили нет. Напр., спектром Л. о. умножения на  является отрезок [ а, b], однако все его точки в случае пространств Lp[a, b]принадлежат непрерывному, а в случае С[ а, b] - остаточному спектру.

 

Заданная на  операторнозначная функция наз. резольвентой Л. о. А. Она полезна, в частности, тем, что позволяет для каждой функции w, голоморфной в нек-рой окрестности Uспектра, рассмотреть обозначаемый w(A).Л. о.

 

 

где Г - гладкий контур в U, ограничивающий спектр. Так строится "голоморфное операторное исчисление"; что же касается "голоморфного мультиоператорного исчисления", т. е., говоря нестрого, придания разумного смысла понятию голоморфной функции от нескольких "операторных" переменных, то задача его построения оказалась намного труднее. Результаты, в нек-ром смысле близкие к окончательным, были получены с помощью методов гомологич. алгебры [5].

 

В теории Л. о. между банаховыми пространствами важна операция перехода от  к его т. н. сопряженномуЛ. о. . к-рый определяется формулой

 

 

Эта операция обладает свойствами

 

 

(в предположении, что  левые части равенств имеют  смысл). Если Еи Fрефлексивны, то ( А*)*=А.

 

Некоторые важнейшие классы Л. о. в банаховых пространствах таковы.

 

1)  наз. компактным оператором, или вполне непрерывным, если  он отображает любое ограниченное  множество в E во вполне ограниченное (т. е. предкомпактное) множество  в F. Всякий Л. о., аппроксимируемый  в операторной норме конечномерными (имеющими конечномерный образ) Л. о., компактен. Для подавляющего большинства классич. банаховых пространств Fверно и обратное: всякий компактный Л. о. из любого Ев F аппроксимируется конечномерными. Так наз. проблема аппроксимации (верно ли это для всех F?) решена отрицательно [6].

 

Тождественный Л. о. в Екомпактен в том и только в том случае, когда Еконечномерно (теорема Р и с с а). Спектр компактного Л. о.- не более чем счетное множество, содержащее О. Если спектр бесконечен, то О - его единственная предельная точка. Каждое  - собственное значение, исоответствующие ему собственные векторы образуют конечномерное пространство.

 

2)  наз. ядерным оператором, если он представим в виде  абсолютно сходящегося ряда в  В( Е, F), состоящего из одномерных Л. о.; такой оператор необходимо компактен. С помощью ядерных Л. о. определяется важный для анализа класс топологич. векторных пространств - ядерные пространства.

 

3)  наз. фредгольмовым оператором, если его ядро и коядро конечномерны; образ такого Л. о. необходимо замкнут. Главная характеристика фредгольмова Л. о.- его индекс dim Ker A - dim Coker А. Множество фредгольмовых Л. о. открыто в В( Е, F), а индекс на нем (в отличие от отдельно взятых размерностей ядра и коядра)-локально постоянная функция. Предтечей теории фредгольмовых Л. о. явилась теория интегральных уравнений Э. Фредгольма (Е. Fredholm), к-рый по существу доказал (и эту "геометрическую" подоплеку увидел Д. Гильберт, D. Hilbert), что Л. о. вида  с компактным А - фредгольмов и притом индекса нуль (см. Фредголъма альтернатива). Важные конкретные классы фредгольмовых Л. о. возникают при рассмотрении эллиптич. дифференциальных выражений на многообразиях. Задача о вычислении их индекса потребовала привлечения аппарата алгебраич. топологии [8].

 

Проблему классификации  эндоморфизмов банаховых пространств, ввиду теоремы Жордана, дающей конечномерный образец ее решения, можно "в первом приближении" трактовать как проблему построения содержательного бесконечномерного аналога жордановой формы Л. о. Она, однако, далека от решения: не говоря о "достаточном" наборе инвариантных подпространств, до сих пор (1982) неизвестно, всякий ли оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, обладает хотя бы одним нетривиальным (отличным от (О) и Н).инвариантным подпространством. Если Л. о. А, действующий в произвольном банаховом пространстве, не пропорционален 1 и перестановочен с нек-рым компактным Л. о., то у всех Л. о., перестановочных с А, есть нетривиальное инвариантное подпространство (см. [9]).

 

Помимо топологии нормированного пространства, в В( Е, F).есть и другие топологии, задающие в нем структуру локально выпуклого пространства. Наиболее важны сильная и слабая операторные топологии, задаваемые системами полунорм соответственно

 

 

Теория непрерывных Л. о. в топологич. векторных пространствах (пример такого Л. о.- преобразование Фурье обобщенных функций) развилась на основе "банаховой" теории. Значительное место в ней занимает исследование возможностей обобщения классич. теорем Банаха н др.; оно привело к введению ряда важных классов пространств. Напр., теорема об эквивалентности непрерывности и ограниченности, теорема Банаха - Штейнхауза и теорема Банаха об обратном операторе не верны для произвольных, хотя бы и локально выпуклых, отделимых и полных пространств. В то же время первая из теорем верна, если Е - борнологич. пространство, вторая - если Е - бочечное пространство, а третья - если Есовершенно полно, a Fбочечно.

 

Непрерывные линейные операторы  в гильбертовых пространствах (конечномерных  и бесконечномерных). Их теория начала формироваться в работах Д. Гильберта [10] об интегральных уравнениях и бесконечных  квадратичных формах.

 

Пример ы. 1) Все примеры Л. о. в   рассмотренные выше, при р=2.

 

2) Интегральный оператор  в L2[a, b], переводящий f(x)в

 

 

где К - интегрируемая с квадратом функция на множестве Такой Л. о. всегда компактен.

 

3) Оператор Фурье в   однозначно определенный тем,  что он совпадает с классич. оператором Фурье (см. выше) на

 

Понятия и факты приведены  ниже в той форме, какую они  имеют для пространств над  именно в комплексных пространствах теория оказалась наиболее важной и содержательной.

 

Особое положение "гильбертовой" теории Л. о. на фоне "банаховой" определяется резко возрастающей ролью понятия сопряженного оператора. Поскольку гильбертово пространство Ни его сопряженное Н* антиизоморфны, Л. о.  естественно отождествляется с Л. о. из Н 2 в Н 1, однозначно определенным равенством  при таком отождествлений Л. о., сопряженный к эндоморфизму в Н, снова действует в Я. В E (Я) возникает важная дополнительная структура - операция перехода от А к А*, обладающая свойствами инволюции, относительно к-рой В(Н).является С*-алгеброй. На самом деле всякая С*-алгебра изометрически *-изоморфна С*-подалгебре в В(Н).для нек-рого Н(теорема Гельфанда - На и марка).

 

Для гильбертовых пространств  характерны следующие классы Л. о.

 

Л. о.  наз. самосопряженным  оператором, или эрмитовым оператором, если А*=А. Самосопряженный Л. о., равный своему квадрату, наз. проектором; такой Л. о. реализуется как оператор ортогонального проектирования на замкнутое подпространство в H. Л. о.  наз. унитарным оператором (в случае поля  - ортогональным оператором), если А*=А -1 или, что эквивалентно, Л. о. унитарен тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом, сохраняющим нормы. Самосопряженный и унитарный эндоморфизмы суть специальные случаи нормального оператора: т. н. Л. о.  такой, что

 

Л. о. умножения на последовательность (соответственно функцию) в l2 (соответственно L2[a, b]).самосопряжен в том и только в том случае, если эта последовательность (функция) действительнозначна. Интегральный Л. о. самосопряжен, если и только если  почти всюду. В операторы сдвига и оператор Фурье унитарны. В l2 Л. о. левого и правого сдвига сопряжены друг другу и не нормальны. Спектр самосопряженного Л. о. лежит в а спектр унитарного - на единичной окруж-ности в Спектр проектора состоит из точек 0 и 1. Спектр нормального Л. о. может быть любым компактом в Собственные векторы самосопряженного Л. о., соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

 

Описанные классы Л. о. используются в целом ряде разделов математики и физики, в том числе в квантовой  механике (где самосопряженные Л. о. интерпретируются как наблюдаемые),, в теории представлений и гармонич. анализе, в теории дифференциальных уравнений и в теории динамич. систем.

 

Всю информацию о Л. о., действующем в конечномерном гильбертовом пространстве, доставляет его матричная запись в ортонормированием базисе. В такой записи переходу к сопряженному Л. о. соответствует взятие матрицы, комплексно сопряженной к транспонированной; как следствие, для матрицы  самосопряженного Л. о.  Классич. теорема "о приведении к диагональному виду" утверждает, что каждый нормальный (в случае поля  - каждый самосопряженный) Л. о. может быть записан в нек-ром ортонормированием базисе диагональной матрицей. Вместе с тем фактом, что Л. о. унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они могут быть записаны (каждый в своем ортонормированием базисе) одинаковыми матрицами, эта теорема означает, что наборы собственных значений с учетом их кратности образуют полную систему инвариантов унитарной эквивалентности для нормальных Л. о.

 

Теорема о приведении к  диагональному виду оказалась "счастливее" теоремы Жордана в том отношении, что для нее найден содержательный бесконечномерный аналог: спектральная теорема для нормальных Л. о., открытая в 1912 (для самосопряженных Л. о.) Д. Гильбертом. Одна из ее формулировок: нормальный Л. о. однозначно представим в виде операторнозначного интеграла Стилтьеса - счетно аддитивная и регулярная (в смысле, напр., сильной операторной топологии) функция на борелевских подмножествах в принимающая значения среди проекторов и такая, что (см. Спектральная мера). Следствие: всякий нормальный Л. о. аппроксимируется линейными комбинациями проекторов.