Случайные величины

     P(a ≤ X ≤b) = F (b) - F (а).

     При рассмотрении функции распределения, числовой промежуток записывается так  же в виде [x₁; x₂], тогда вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в этом интервале равна:

     p(x₁≤ x ≤ x₂) = F (x₂) - F (x₁).-  что более понятно и привычно.

     Вероятность того, что случайная  непрерывная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

     2. Понятие плотности  распределения, функция  плотности НСВ

     Непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределение или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

     Плотностью  распределения  вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (х) - первую производную от функции распределения F (х): f (х)= F'(х)

     Из  этого определения следует, что  функция распределения F(х) является первообразной для плотности распределения f (х):  F(х)=ò f (х).

     Функцию f (х) можно называть дифференциальной функцией

     Таким образом, зная интегральную функцию (функцию распределения) можно найти дифференциальную функцию(функцию плотности) и наоборот по формулам:

f (х)= F'(х)                               F(х)=ò f (х).

     Заметим, что для описания распределения  вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.   

     2.1 Вероятность попадания  непрерывной случайной  величины в заданный  интервал

     Зная  плотность распределения, можно  вычислить вероятность того, что  непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному  интервалу. Вычисление основано на следующей теореме.

     Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а. b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

     P(a<X<b)= = F (b) - F (а)

     Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = а и х = b, кривой распределения f(х).

    Замечание. Если f(х) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то P(—а < X < а) - Р (÷Х÷ < а) = 2 . Действительно,   
 
 
 

     2.2. Свойства плотности  распределения

     Свойство  1.  Плотность   распределения - неотрицательная функция.

     Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой  оси.

     График    плотности   распределения   называют   кривой распределения.

     Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в  пределах от -  ¥ до +¥ равен   единице;

     Геометрически это означает, что вся площадь  криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице.

     Если  все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то =1

     2.3. Закон    равномерного   распределения вероятностей

     При решении задач, которые выдвигает  практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений. В настоящем параграфе рассматривается закон равномерного распределения вероятностей. Нормальному и показательному законам посвящены последующие темы.

     Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

     Приведем  пример равномерно распределенной непрерывной случайной величины.

     Пример. Шкала измерительного прибора проградуирована  в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину X, которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, X имеет равномерное распределение.  

     3. Числовые характеристики  НСВ.

     1. Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины- X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называют определенный интеграл М(Х) =

     Если  возможные значения принадлежат всей оси Ох, то М(Х) =

     Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т, е. существует интеграл   то М(Х) =. Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к -¥ , а верхнего - к +¥

     По  аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

     2. Дисперсией непрерывной  случайной величины  называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

     Если  возможные значения X принадлежат отрезку [а, b], то

     D(x)=

     Если  возможные значения принадлежат  всей оси Ох, то D(x)=  

     3. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством   .

     Можно доказать, что свойства математического  ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для  непрерывных величин.

     Легко получить для вычисления дисперсии  более удобные формулы:

D(x)=        D(x)=

Представленная  работа посвящена теме "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". 
Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов. 
Тема "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". 
Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы.  
Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" определяют несомненную новизну данного исследования. 
Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования. 
Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.  
Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". 
Теоретическое значение изучения проблемы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин. 
Объектом данного исследования является анализ условий "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". 
При этом предметом исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования. 
Целью исследования является изучение темы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике. 
В рамках достижения поставленной цели автором были поставлены и решения следующие задачи: 
1. Изучить теоретические аспекты и выявить природу "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения"; 
2. Сказать об актуальности проблемы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" в современных условиях; 
3. Изложить возможности решения тематики "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения"; 
4. Обозначить тенденции развития тематики "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения";  
Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 3 глав, заключение и библиографический список. 
Во введении обоснована актуальность выбора темы, поставлены цель и задачи исследования, охарактеризованы методы исследования и источники информации. 
Глава первая раскрывает общие вопросы, раскрываются исторические аспекты проблемы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". Определяются основные понятия, обуславливается актуальность звучание вопросов "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". 
В главе второй более подробно рассмотрены содержание и современные проблемы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". 
Глава третья имеет практический характер и на основе отдельных данных делается анализ современного состояния, а также делается анализ перспектив и тенденций развития "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения". 
По результатам исследования был вскрыт ряд проблем, имеющих отношение к рассматриваемой теме, и сделаны выводы о необходимости дальнейшего изучения/улучшения состояния вопроса. 
Таким образом, актуальность данной проблемы определила выбор темы работы "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения", круг вопросов и логическую схему ее построения.  
Теоретической и методологической основой проведения исследования явились законодательные акты, нормативные документы по теме работы.  
Источниками информации для написания работы по теме "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения" послужили базовая учебная литература, фундаментальные теоретические труды крупнейших мыслителей в рассматриваемой области, результаты практических исследований видных отечественных и зарубежных авторов, статьи и обзоры в специализированных и периодических изданиях, посвященных тематике "Непрерывные случайные величины. Равномерный, показательный, нормальный законы распределения", справочная литература, прочие актуальные источники информации.