Случайные величины

Из определения (1.5.1) функции распределения Fix) вытекает, что для любой непрерывной  случайной величины f следует

Отсюда, пользуясь выражением (1.5.7) для функции нормального распределения, находим, что при а = О справедливо

Далее, из выражения (1.5.8) для следует, что . Поэтому

Таким образом, вероятность  того, что зависит только от отношения  к величине Д к среднему квадратическому значению у ошибки о.

В таблице 1.7.1 помещены вычисленные по формуле (1.7.3) значения в зависимости от величины

при нормальном распределении  ошибок и а = 0.

Таблица 1.7.1. Зависимость  вероятностиот величины &=Д/у при  нормальном (с а=0) и произвольном распределениях ошибок о

Из таблицы видно, что при нормальном распределении  ошибок о величина быстро убывает  с увеличением к. Так, при в  среднем лишь в 3 случаях из 1000 можно  ожидать того, что При это будет  иметь место в 6 случаях из 100000, а прислучаях из 10000 000! Таким образом, привероятностьблизка к вероятности погибнуть в транспортной катастрофе на улицах города со многомиллионным населением в течение ближайших нескольких дней. Как известно, подобной вероятностью большинство людей в обыденной жизни пренебрегают!

Исходя из приведенных  выше соображений, на практике обычно пренебрегают редкой возможностью появления  очень больших ошибок о ив качестве максимального значения Д модуля о принимают величину, для которой  вероятность достаточно велика. Эту  вероятность обычно называют надежностью принятого максимального значения Д ошибки о и обозначают через . При этом возможны следующие два подхода к оценке точности рассматриваемой величины X:

задаются некоторой  надежностью (Д), и в качестве характеристики точности используют соответствующее значениемаксимальной ошибки;

задаются величиной  Д максимальной ошибки и характеризуют  точность соответствующей надежностью  До сих пор мы исходили из допущения  о нормальности распределения ошибок |. Если отказаться от этого допущения, то можно для определения зависимости #{Д) воспользоваться известным неравенством Чебышева:

справедливым при  любом распределении ошибок о [7]. Здесь у -- стандартное отклонение о, называемое обычно средней квадратической ошибкой.

В последней строке таблицы 1.7.1 приведены полученные при помощи этого неравенства минимальные значения надежности #(Д), соответствующие определенным образом выбранному наихудшему с рассматриваемой точки зрения распределению ошибок о. Из таблицы 'видно, что переход от нормального распределения к. произвольному может существенно (на несколько порядков) ухудшить зависимость

Из зависимостей (1.7.3) и (1.7.4) видно, что как при нормальном, так и при произвольном распределении  величины о максимальная ошибка Д  определяется выражением,

где коэффициент к  зависит от принятой надежности . Поэтому  при решении прикладных задач  в, качестве характеристики точности обычно используют среднюю квадратическую ошибку. При необходимости оценить  соответствующее максимальное значение ошибки Д пользуются равенством (1.7.5). При этом в большинстве задач полагают к = 3, что для нормального распределения ошибок соответствует надежности #(Д) « 0,997.

При выводе зависимости (1.7.5) мы предполагаем, что математическое ожидание ошибки

Если это условие  не выполняется, но величина известна, то можно всегда перейти к случаю справедливости равенства (1.7.6) путем замены измеренного значения X величинойw Действительно, ошибка этой величины , а математическое ожидание этой ошибки

Однако во многих задачах  точное значение неизвестно, а может быть указана лишь верхняя граница т его модуля, удовлетворяющая неравенству

В этом случае исключить  влияние математического ожидания ошибки не представляется возможным. Для  учета этого влияния при решении  прикладных задач часто прибегают к одному из следующих двух приемов:

Добавляют величину т  к вычисляемой по формуле (1.7.5) максимальной ошибке и. определяют последнюю выражением

Пользуясь зависимостью (1.6.8), находят максимальное значение Ртах математического ожидания квадрата ошибки о:

и определяют максимальную ошибку Д по формуле, аналогичной  зависимости (1.7.5),

При этом в обоих  случаях определение коэффициента к для заданной надежности #(Д) производится описанным выше способом (для нормального  и произвольного распределений  ошибок).

Формулы (1.7.8) и (1.7.10) являются приближенными и дают, вообще говоря, завышенное значение максимальной ошибки Д при заданной ее надежности Я (или  заниженное значение Я при заданном Д); Точная зависимость между Я  и Д в рассматриваемых условиях для нормального и произвольного распределений ошибок о дана в [4].

Рассмотрим в качестве примера задачу определения некоторого параметра X, представляющего собой  сумму з величинПри этом все Хг измеряются и находятся их измеренные значения Х{, по которымвычисляется соответствующая величина

Требуется охарактеризовать ошибку найденной величины в предположении, что все ошибки о = величин Х{ удовлетворяют  неравенству

(1.7.11) где-- заданное  число»

Таким образом, мы нашли  основные числовые характеристики ошибки о величины X. Постараемся теперь от этих характеристик перейти к ожидаемым максимальным значениям этой ошибки. Для этого воспользуемся центральной предельной теоремой теории вероятностей, согласно которой распределение суммарной ошибки о при большем з близко к нормальному. Основываясь на этом, будем в дальнейшем полагать, что ошибка о приближенно распределена по нормальному закону. Из зависимостей следует, что основные параметры этого распределения

Пользуясь приведенными выше результатами и принимая к = 3, находим, что с надежностью З = 0,997 осуществляется неравенство

Из этой зависимости  видно, что при большом числе  з можно с незначительным риском существенно уменьшить определяемое правой частью неравенства (1.7.13) значение максимума модуля ошибки . Так, при  и = 100 оно уменьшается примерно в шесть раз.

Следует отметить, что  переход от неравенства (1.7.13) к неравенству (1.7.17) обоснован лишь при некоторых  дополнительных допущениях об ошибках  о<. Основными из них являются:

симметричность распределений  величин |< относительно точки приводящая к равенству нулю математических ожиданий этих ошибок;

взаимная независимость  ошибок о*, приводящая к их частичному взаимному исключению при суммировании по формуле (1.7.12).

Вопрос о влиянии  возможных отклонений от этих допущений при оценке точности решений аналогичных задач рассмотрен в следующей главе. При этом оказывается, что даже малые отклонения от принятых допущений могут при большом числе з существенно ухудшить точность конечного результата. Таким образом, здесь, как и всюду в мире, ничего не дается само собой: для существенного уменьшения максимального значения ошибки о нужны дополнительные сведения об ошибках.

Использованная  литература

1. Измерительная информация: сколько ее нужно? Как ее  обрабатывать? Эльясберг П.Е.--М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.--208 с, 

Литература

1. Высшая  математика для экономистов: Учебник  для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2003.

2.Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская Теория вероятностей в задачах и упражнениях / М. ИНФРА-М 2005.

3. Высшая  математика для экономистов: Практикум  / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2004.Ч1, 2

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977

6. М.С. Красс Математика для экономических специальностей: Учебник/ М. ИНФРА-М 1998.

7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М., 2000.

8. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1971.

9.А.К. Казашев Сборник задач по высшей математике для экономистов - Алматы-2002 г.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1985, Т1,2.

11.П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Высшая математика в упражнениях и задачах/ М. ОНИКС-2005.

12.И.А. Зайцев Высшая математика/ М. Высшая школа-1991 г.

13. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - М.: Наука, 1985.

14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики. - М.: ДИС, 1997.

15. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. - М.: Высшая школа, 1982 - Ч 1, 2.

16. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. - М.: Инфра-М, 1997.

17.В.С. Шипацев Задачник по высшей математике-М. Высшая школа, 2005 г.

 
 

     План:

          1.    Понятие СНВ,  функция ее распределения

          2.    Понятие плотности распределения, функция плотности НСВ

          3.    Числовые характеристики НСВ.

          4.    Законы распределения НСВ.

          5.    Центральная предельная  теорема (теорема Ляпунова).  

Теоретические сведения

     1. Понятие СНВ,  функция  ее распределения 

     Случайной непрерывной  величиной  является величина, которая может принять любое из значений некоторого промежутка. Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. 

     Случайная непрерывная величина, принимать все свои значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной дискретной величины может быть конечным или бесконечным.

     При рассмотрении ДСВ рассматривалась  функция F(x) распределения случайной дискретной величины. Аналогично можно вест речь и о функции распределения случайной непрерывной величины, для определенности ее так же обозначают как F(x).

     Вместо  термина "функция распределения" используют термин "интегральная функция", смысл которого будет понятен в дальнейшем. .  

     Свойства функции распределения случайной непрерывной величины аналогичны свойствам функция распределения случайной дискретной величины. Они были приведены при рассмотрении случайных дискретных величин.

     Функция F(x) не убывающая, непрерывная, множество значений промежуток [0; 1].

     Случайной непрерывной  величиной  является величина, функция распределения F(x) которой, непрерывна на всей числовой оси.

     Функция распределения СНВ F(x) есть кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

     Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некотором интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале;