Шпаргалка по "Высшей математике"

   

Sin потому что :      

                                                                               Т

                                                                               

                                           N

50.Условие  параллельности между  пространственной  прямой и плоскостью.

Если плоскость параллельна прямой, то нормальный вектор этой плоскости  будет перпендикулярен этой прямой,т.е. N   T à N*T=0 à Am+Bn+Cp=0-условие параллельност прямой и плоскости.

51.Условие  перпендикулярности  прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости,то нормальный вектор этой плоскости параллелен этой прямой,т.е. N  T àN*T=0à

                                                            -условие перпендикулярности прямой и плоскости.

52.Понятие  скалярной и векторной  величин.Равенство 2 векторов.

Скаляр-величина, для характеристики которой достаточно задать лишь её числительное значение(масса,объем,площадь).Скаляр по сути всегда есть число. Вектор-величина,для  характеристики которой всегда указывают 2 параметра:1)направление на плоскости или в пространстве;2)числовое значение(замена вектора).Вектор всегда в отличии от скаляра обозначается а; АВ. При чем А-начало вектора а, В-конец вектора а. Два вектора называются равныи если они:1)параллельны или лежат на одной прямой;2)направленны в одну сторону;3)равны по модолю,т.е. а  =  в  .Если векторы равны по модолю,параллельны,но направленные в противоположные стороны,то такие векторы-противоположные: а  =  -в  .Равные и противоположные векторы-это частные случаи колинеарных векторов(-лежат на одной прямой или параллельны).Три вектора называются компломарными,если они лежат в одной плоскости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

53.Сложение,вычитание  2 векторов.Умножение  вектора на скаляр.

Опр.Сумой 2 векторов а и в называется з вектор с , который по величине и напрвлению совпадает с диагональю параллелограмма,проходящей через общее начало векторов а и в(правило параллелограмма)

  

Правило треугольника: Если к концу 1 вектора а приложить начало вектора в,то сумой этих векторов будет вектор идущий из начала а в конец в. 

                                                         

Замечание:если в задаче требуется сложить несколько векторов,то для их сложения используется правило-многоугольника. Правило много-ка:к концу 1 начало 2 прикладывается, к концу 2 начало 3 и так далее. Сумма этих векторов –вектор,идущий из начала 1 в конец последнего.

 

Нулевой вектор-это вектор,длина которого равнв нулю,а направление не определено.Нулевой вектор на практике получается сложением нескольких векторов,когда начало 1 и конец последнего совпадают. а+в+с=0-условие.при котором 3 вектора образуют замкнутый треугольник.

Опр. Разностью векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a:

                                                                                     a                 1/2a 
 
 
 
 
 
 

54.Понятие  единичного вектора  для заданного вектора а.

Единичный вектор для заданного вектора а называется новый вектор а0 и который:1)колинеарен с вектором а;2)направлен в ту же сторону что и вектор а;3)его  длина равна 1 

                            

                                                                                                А=4

                                                              

                                                            А0

55.Проекция  вектора на ось.

Пусть задан  вектор АВ и ось Х.Опустим перпендикуляр из АВ на Х:

                                                                                             В

                                                                         А

                                                                          

                                                                     А                   В          х

Проекция вектора АВ-длина направленного  отрезка А В на ось Х. Обозначается Прх АВ.Прекция может быть >0,если направления вектора совпадает с направлением оси0Х(в нашем случае)и <0 в противном случае. 
 

67)УПОРЯДОЧЕННАЯ  ТРОЙКА ВЕТОРОВ.  ПРАВЫЕ И ЛЕВЫЕ  ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ

3 вектора называются  упорядоченной тройкой векторов, если строго указан порядок  их следования, т.е. какой из них является 1м, какой-2м, какой-3м. упорядоченная тройка вектора называется правой (левой), если они подчинены правилу правой (левой) руки. Это правидо заключается в следующем: если по 1 вектору направить большой палец правой(левой) руки, 2му вектору указательный палец правой  (левой) руки, то тройка векторов будет правой или левой, в зависимости от руки которой она зависит 

68)ВЕКТОРОНОЕ  ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ  ВЕКТОРОВ. УСЛОВИЕ  КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ  ВЕКТОРОВ

Векторным произведением 2х векторов а в называется 3й вектор с, обозначаемый а х в или [ a b] и удовлетворяющий следующим 3м условиям:

1. модуль вектора  векторного произведения с равен  произведению модулей промежуточных  векторов на синус угла между  ними, т. е. |c|= | a x b|= |a|* |b|*sina

2. вектор векторного произведения с ортогонален каждому из перемноженных векторов, т. е. с ⊥а, с ⊥ в

3. вектор с  направлен так, что 3ка векторов  авс будет правой. Из определения  векторного произведения вытекает  условие коллинеарности векторов, т. е. если  вектор а параллелен  вектору в, то угол ав= Пn (n=1, 2, 3, …..)

Тогда | a x b| = |a| *|b|* sin aП=0. если векторы коллинеарны , то их векторное произведение равно нулю.

 

69) СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ  ТРЕХ ВЕКТОРОВ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ  СМЫСЛ. УСЛОВИЕ  КОМПЛАНАРНОСТИ ТРЕХ  ВЕКТОРОВ.

Пусть заданы 3 вектора  а в с. Перемножим вектор на 2 из них, скажем а и в, в результате получим (а х в), который умножим сколярно на вектор с. В результате получим сколяр(число), которое называется смешанным произведением 3х векторов . Доказано, что                  (а х в) с=а(в х с). Поэтому смешанное произведение 3х векторов обозначают : а*в*с или авс

Если тройка перемноженных векторов авс правая,то смешанное произведение этих векторов будет положительным, если же левое-отрицательное. С геометрической точки зрения смешанное  произведение 3х векторов равно обьему параллелепипеда , построенного на перемноженных векторов авс как на сторонах. Смешанное произведение 3х векторов находится по формуле:

авс= |ах ay az|

         |bx by bz|

         |cx cy cz|

Из определения  смешанного произведения следует условие  компланарности 3х векторов, т.е. если

авс= ах ay az|

         |bx by bz=0 |

         |cx cy cz|

То есть авс  компланарны, т. е лежат в одной  плоскости.  

70) ПОНТЯИЕ О ДВОЙНОМ  ВЕКТОРНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ.

Пусть даны 3 произвольных вектора а в с, если теперь в  умножить на вектор с, и полученный в результате вектор векторно умножить на вектор а, то полученный вектор векторного произведения будет называться двойным векторным произведением. Доказано, что для любых векторов а в с справедлива формула: ах (в х с )= в* (ас) –с (а*в) 

71) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМ-ОГО АНАЛИЗА: МНОЖЕСТВО, ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА, ПОСТОЯННАЯ И ПЕРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Множество-совокупность тех или иных объектов, объединенных некоторыми признаками или свойствами.

Элементом множества называется объект, который  входит в это множество.

Постоянной  называется величина, сохраняющая всегда одно и то же значение

Переменной  называется величина, которая может  принимать различные числовые значение.

N-множество натуральных чисел, Z-мн-во целых чисел, Q-мн-во рациональных чисел, I-мн-во иррациональных чисел, R-мн-во всех действительных чисел (числ. Окружность) R2-мн-во всех точек на плоскости, R3- мн-во всех точек в пространстве,   ⊂ - знак включения , ∅ -пустое множество, ∀-любой, всякий , каждый, ∃-знак существования, ∪-знак объединения (логическое или), ∩-знак пересечения (логическое и) , ⇒-следовательно, ⇔-равносильно, ∞-бесконечно, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

72)ФУНКЦИЯ  ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ.

Если  каждому значению независимой переменной х их множества Х по некоторому закону или правилу ставится в соответ. Одно определенное значение переменной у из множества У, то говорят, что у-функция независимой переменной х и обозначают y=f(x), y=y(x), f-знак функции.

При этом х называют аргументом функции. Значения функции, отвечающие конкретному значению аргумента х0..х1..х2 называют частными значениями функции и обозначают: у0= f(x0) или y0=f(y0). Говорят, что y=f(x) определена(существует) при х-х0 в точке х0, если в этой точке она принимает конечные действительные значения.

Областью  определения (существования) функции  у называют множества значении переменной х , при которой функция y=f(x) определена. Обычно область определения функции находят из соображения здравого смысла.

Ограниченной функцией называется функция y=f(x) определенная на множестве Х, если существует такое число М, что для всех х ∈Х выполняется неравенство |f(x)|<M. Примером таких функции служат тригонометрические функции.

Аналитический способ задания включает в себя: