Шпаргалка по "Высшей математике"

12.Способ вычисления ранга матрицы при помощи элементарных алгебраических преобразований.

1.Перестановка  строк или столбцов местами.

2.Умножение эл-тов  строки/столбца матрицы на постоянное  число,≠0.

3.Вычеркивание  из матрицы 1 или 2 одинаковых  строк/столбцов,а также вычеркивание строк/столбцов,сост. из 0.

4.Суммирование  эл-тов строки/столбца матрицы  с соот. эл-тами другой строки/ столбца, умноженное на одно  и тоже число.Эквивалентные матрицы-матрицы,к которым применены элементарные преобразования. 

13.СЛАУ-СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.Сис-ма, имеющая решение наз-ся совместной,а не имеющая решение-несовместной.Эквивалентные СЛАУ-те,к которым применены элементарные преобразования. 

14.Теорема Кронекера-Копели(совместность СЛАУ):СЛАУ имеет решение тогда, и только тогда,когда ранг матрицы А равен рангу матрице А^͡͡.

Док-во: Обязательно rA≤   rA^͡

a₁₁  a₁₂...a_1n   b₁

a₂₁  a₂₂...a_2n   b₂

_{......................................}

a_k1  a_2k..a_kn      b_n

        A                r(A)=S

1)если есть  решение, то ранг совпадает.

Пусть x₁=R₁;x₂=R₂...x_n=R_n-решение систем

а₁₁R₁+a₁₂R₂+...+a_1nK_n=b₁

a₂₁R₁+a₂₂R₂+...+a_2nk_n=b₂

.........................................

a_k1R₁+a_k2+.....+a_knR_n=b_k

a₁₁                  a₁₂                       a_1n                   b₁

a₂₁  *R₁+ a₂₂   *R_2+.....+ a_2n    *R_n= b₂

....            ...                  ....             ...

a_k1                  a_k2                      a_kn                  b_n

Базисные  переменные-переменные,которые входят в базисные минор(зависит от нашего выбора),остальные переменные-свободные.Общее решение-решение,через неизвестные(без подстановки конкретных чисел) 

15.Метод  Гаусса решения СЛАУ состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы с помощью сложения или вычитания уравнений,умноженных на некоторые числа.

Прямой ход:        х+2у+3z=8                 x+2y+3z=8           x+2y+3z=8

      4х+5у+6z=28      →  3y+6z=4    →        3y+6z=4

      7x+8y+10z=47          6y+11z=9             z=1

Обратный ход:  z=1

                       3y=-2 y=-2/3

            x+2y=5  x=19/3 
 

16.Метод  Жордана-Гаусса:1)Прямой ход:с помощью элементарных преобразований расширенная матрица приводится к верхнетреугольному виду

2)Обратный ход:с  помощью элементарных преобразований  полученная верхнетреугольная матрица  приводится к одному из след видов:

а)а₁₁......0      b₁      диагональная матрица→система имеет 1 решение

    .....а₂₂....    b₂

   ................  ...

   0...........а_nn  b_n

б) а₁₁ 0..........0   в₁

     0  а₂₂........0    в₂ если хотя бы 1 из коэффициентов в_s+1 и т.д.       

     0 0  ....а_ss..0                    ≠0→система не имеет решение,а если все                             

     0 0.............0   в_s+1              =0,то система имеет бесконечно много

      00.............0   в_s+2                       решений 

в)  а₁₁  0......0....а_1s+1....a_1n   в₁

       0    а₂₂....0....а_2s+1.....a_2n    в₂         если хотя бы 1 из коэффициентов в_s+1

     0    0.....a_ss...a_s1s+1.....a_n        в_s          или в_n ≠0, то система не имеет решение

     0 0..........................0      в_s+1      если   в_s+1 или в_n =0,то бесконечно

     0   0.........................0       в_n            много решений 
 

17.Прямоугольная(декартова)система координат.Выбирается начало координат на плоскости или в пространстве и задается единица масштаба.Положение любойточки на плос-ти опр-ся 2 числами-х-абсциссой и у-ординатой, а в пространстве еще и z-апликатой.

Деление отрезков в заданном отношении:пусть дан отрезок АВ,А(х₁;у₁) В(х₂;у₂), точка С делит его на 2 части

АС/СВ=λ→абсцисса(х) С=х₁+λх₂/1+λ   ордината(у) С=у₁+λу₂/1+λ. Если АС=СВ, ТО Х точки С = х₁+х₂/2, а У=у₁+у₂/2

Уравнение линии(L),заданной на плоскости ХОУ наз-ся уравнение вида F(x;y)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии L и не удовлетворяют координаты любой точки,не принадлежащей L.Иначе: L-геом.место точек, координаты которых удовлетворяют ур-ию линии L.Различают 2 типа точек линии:1)текущие-когда любая точка L имеет координатную пару х;у,удовлетворяющих ур-ию линии.2)фиксированные-точки линии,координаты которой заданы конкретными числами. 

18.Точка  пересечений 2-х  линий.Т.к. точки пересечения лежат одновременно на 2-х линиях,то их координаты должны удовлетворять одновременно и 1-му и 2-му уравнениям лини,следовательно,для определения координат точки пересечения этих линий достаточно решить систему уравнений:  Ф(х;у)=0

Классификация линий:          F(х;у)=0

1.Алгебраические-линии,заданные алгебраическим уравнением,т.е. в котором над х и у проводятся алгебраические действия(+,-,*,/,√...)2.Трансцендентные-если линия задана уравнением,в котором х,у нах-ся под знаком трансцендентной функции(sin.,cos,tg,lg,arcsin,ctg,a^x)Прямая линия(1-го порядка)-алгебраическое уравнение 1-го порядка, где а,в,с-произвольные числа,описывающие прямую. Ах+Ву+С=0  Уравнение прямой с угловым коэффициентом: у=кх+в,где к=tgα-угловой коэффициент прямой, α-угол, образованный прямой с положительным направлением ОХ, в-точка пересечения прямой с осью ОУ. Если:а)к›0→ угол острый; б)к‹0→ угол тупой в)к=0→у=в(также может совпадать с осью ОХ и ОУ) 

19.Уравнение  пучка прямых, проходящих через М₁: y-y₁=K(x-x₁)  M(x₁;y₁)Если К в последнем уравнении не определен, то действительно это ур-ие опряделяет пучок прямых,проход. через М_1.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки М₁(х₁;у₁) М₂(х₂;у₂)  у-у₁/у₂-у₁=х-х₁/х₂-х₁ 

20.Уравнение  прямой в отрезках  на осях.Для вывода уравнения воспользуемся уравнением прямой,проход. через 2 точки:А(а;0) В(0;в)→у-0/в-0=х-а/0-а  →х/а +у/в =1 это уравнение часто используют при построении прямой.например:        -2х+3у-6=0 Приведем к виду отрезков на осях: -х/3 +у/2 =1

Общее уравнение прямой: Ах+Ву+С=0, где А,В,С-заданные числа.Покажем, что это уравнение определяет прямую на плоскости: у=(-А/В)х -(С/В)→у=кх+в

       

        К            в

Частные случаи:

1)А=0: Ву+С=0  у=-С/В=const.

2)В=0: х=-С/А=const.

3)С=0 :у=-(А/В)х=Кх

4)А=0,С=0 :Ву=0 →у=0

5)В=0,С=0: Ах=0→х=0 

21.Угол  между 2-мя прямыми.  Пусть даны 2 уравнения: у=к₁х+в₁(1)    у=к₂х+в₂(2),α₁-угол,образованный первой прямой и ОХ.  α₂-угол,образованный второй прямой и ОХ→α(угол между прямыми)=α₂-α₁.

Найдем tgα=tg(α₂-α₁)=tgα₂-tgα₁/1+tgα₁tgα₂ Но tgα₁=k₁,а tgα₂=k_2→tg=|k₂-k₁/1+k₁k2| 

22.Условие  параллельности 2-х  прямых на плоскости:если прямые параллельны,то α=0→  к₁=к_{2 или} А₁/В₁=А₂/В₂

Условие перпендикулярности 2-х прямых: если прямые перепндикулярны,то α=90®→к₂=-1/к₁ или А₁А₂+В₁В₂=0

Расстояние  от точки до прямой: М(х;у) Ах+Ву+С=0   d=|Ах₁+Ву₁+С/√А²+В²| 

44.Общие  уравнения прямой  в пространстве.

Здесь прямая линия  в пространстве задается линией пересечения 2 плоскостей,т.е.

Из последней  системы можно получить каноническое уравнение прямой в виде:

Х-Хо     =У-Уо   =  Z-Zо   

В1 С1     С1 А1   А1 В1

В2 С2     С2 А2   А2 В2

т.е.из заданой  системы,составленной из уравнения  плоскостей легко найти координаты направляющего вектора прямой:

m= В1 С1

      В2 С2    

n= С1 А1  

     С2  А2    

p= А1 В1

    А2  В2

Для нахождения Хо,Уо,Zо, как правило Zо=0  в уравнении плоскости из за полученной системы находят Хо и Уо.

Тем самым определяем М(Хо,Уо,Zо)

45.Условие параллельности прямых в пространстве.

Пусть заданы 2 прямые каноническими уравнениями

 Т=(m, n, p)

 Т1=(m1, n1, p1)

Если эти прямые параллельны,то и  параллельны и их направляющие векторы,т.е.Т  Т1à

i      j      k

m    n     p      =0 ---->    -условик параллельности двух прямых в прост-ве.

m1   n1   p1 
 
 
 
 
 
 

46.Условие  перпендикулярности 2 прямых в пространстве.

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

 Т=(m, n, p)

 Т1=(m1, n1, p1)

Если прямые перпендикулярны,то и перпендикулярны и их направляющие векторы,т.е.

Т(перпе.)  Т1--àТ*Т1=0-à mm₁ + nn₁ + pp₁ = 0-условие перпендикулярности 2 прямых в про-ве.

47.  Угол между 2 прямыми в пространстве.

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно  принять угол между их направляющими  векторами  и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

48.Уравнение  прямой в пространстве,проходящих  через 2 заданные  точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂).Запишем каноническое уравнение прямой,проходящие через т.А

x-x1 = у-у1 = z-z1

 m        n          p         т.к.по уравнению это прямая проходит и через т.В,то в качестве направляющего вектора этой прямой можно выделить вектор АВ.

Т=(m, n, p), Т=АВ, АВ=(х2-х1,у2-у1,z2-z1), отсюда получаем уравнение рямой проходящей через 2 точки:

 
 
 
 
 
 

49.Острый  угол между пространственной прямой и плоскостью.

Пусть прямая задана каноническим уравнением:   с Т=(m, n, p), а плоскость общим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 с N=(А,В,С)

Тогда угол между  данной прямой и данной плоскостью: