Шпаргалка по "Математике

В. 1 пусть имеется n – переменных величин и каждому набору их значений (х1х2,… хn)е Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины Z. Тогда, говорят, что задана ф-я нескольких переменных Z= f (x1,x2,…xn).

Переменные х1,х2,…хn называются аргументами или независимыми переменной. Z- завис.перем-ой или ф-ей. А символ f обозначает закон соответствия.

Область определения  ф-ии нескольких переменных, называется совокупность всех значений независимых  переменных Х, при к-ых ф-я Z существ, или имеет смысл.

Если в область  определения не входят точки какой-либо линии, то на чертеже это обозначают либо проставлением стрелок в  тех точках, где линия пересек. со штриховкой, либо точка пересеч.линии  и штриховки «выкалывается», либо линию проводят пунктиром.

Графиком ф-ии несколькюпеременных будет явл.множество  точек n- мерного пространства, для к-ых выполняется соответствие Z= f (x1,x2,…xn). Заметим, что наглядное изображение имеет только случай ф-ии двух переменных, в этом случае графиком будет явл.м-во точек 3-ех мерного пространства. 

В. 2 ЛУ ф-ии двух переменных Z=f (x, y), называется множ-во точек на плоскости, таких что во всех этих точках знач.ф-ии одно и тоже, и = С.

Примеры некоторых  ФНП:

1. Ф-я Z=a1x1+ a2x2+a3x3+…+ anxn, называется линейной ф-ей нескольких переменныха1,а2,а3…аn – пост.числа.

2. Ф-я                                                                           называется квадратичной, bi – постоянные числа 
 

В. 15 3.В экономических науках часто вводится ф-я полезности. Многомерный аналог этой ф-ии Z= f (x1,x2,…xn) выражает полезность Z от n- приобретенных товаров.

Чаще всего  встречаются след.виды:

а) логарифмическая  ф-я полезности. 
 
 

б) ф-я постоянной эластичности. 
 
 
 

В. 2  4. Производственная ф-я выражает результат производ.деят-ти, от обуславливающ.ф-ии х1,х2….  

В. 3 Предел ФНП- Число А,назыв.пределом ф-ии Z=f (x, y), при x стрем. к х0, y стрем.к y0, если для любого сколь угодно малого положит.числа Е< 0 найдется положит.число                  ,такое что для всех точек (х,у) отстоящих от точки (х0, у0) меньше чем на          выполняется нерав-во             . Вычисление пределов ф-ии неск.перем., явл трудной задачей, по сравнению с одной переменной.

Неприрывн.ФНП- Ф-я Z=f (x,y),назыв.непрерывностью в точке (х0,у0), если она определена в т.(х0,у0), имеет конечный предел при х стрем.к х0, у стрем.к у0 и этот конечный предел равен знач.ф-ии в этой точке.

Геометрич.смысл  непрерывн.очевиден. Графиком поверх.изображ. эту ф-ю явл.сплошной нерасслаивающейся  поверхностью. 

В. 4 Пусть, в некот.окресности т.(х0, у0) определена ф-я Z= f (x, y), тогда приращение переменных х и у определ.формулами:   х = х – х0;   у = у – у0. Полное приращение ф-ии будет находится Z(x,y)= f(x0,y0) +   Z.

Рассмотрим случай, когда приращ.получает только одна независ.переменная.

Пусть переменная Х изменяется от величины х0, до х0 +   х (у – остается постоянным), тогда  
 

Частной произв.ф-ии неск.переменных по одной из этих переменных называется предел откошения соответствующего частного приращения ф-ии, к приращению рассматриваемого независ.аргумента, при стремлении посл.к 0(если этот предел сущ-ет). Обозначается частная производная – Z’x, Z’y, f’x (x,y), f’y (x,y),                                    . 
 
 
 
 

Пусть графиком ф-ии двух переем.представ.поверхн, тогда  при у=у0 мы получаем некоторую кривую, к-ая явл.сечением этой поверхности плоскостью проходящей через т. У0 парал.коорд.плоскости XOZ. В этом случаем частн.произ. Z’x геометрически представл.собой угловой коэф касательной к кривой сечения в т. (x0;y0).

Диффиринциалом ф-ии неск.перем. называется сумма произвед.часин.производн.этих ф-ий на приращение соответств-его независ.переменных. 
 
 

Ф-я называется диффиринцируемой в т. (х,у) если ее полное приращение может быть представлено в виде:                                          , где dz –диффир.ф-ии,                                             бесконечно малые величины относительно при                                 .

                            - эта форм.использ.для приблеж.вычислен.ф-ии  неск.переменных. 

В. 5 Пусть ф-я Z=f(x, y) определена в некотор.окресности т.М (х,у) век.l – некоторое направл.задаваема единичн.вектором.                            , т.к. вектор единичный, то                              .

Пусть ММ1 =          ,тогда очевидно, что                                                                         . Очевидно, приращение ф-ии по направл. l найдется по формуле :                                                                           . 

Произв.ф-ии Z по напр. l (Z’век.l) называется предел отношения приращ.ф-ии в этом направление к величине перемещ.            при стремлен посл к 0, т.е. 

Формула для  нахождения произв.по напр.: 

В. 6 Градиемтом ф-ии Z= f(x,y) называют вектор grad Z корд.к-го явл.частн.произв.ф-ии Z по переменным х и у. 

Если рассмотреть скалярное произв.векторов век.grad Z и единичного век.                                      , то увидим век.grad Z * век.е =                                                       .

Если сравнить форм.для определ.произв.по нарп. И  форм.скалярн.произв. ве. Grad Z* век.e, мы увидим, что они одинаковые. Т.о.произв.по напр. есть скалярное произв.век. grad                             . 
 

В. 7 Касат.плоскость к поверх. Z= f(x,y) в общем виде иммет вид Ур-ие Ах + Ву + С z + Д =0.

Пусть требуется  найти Ур-е касат.плоскости к поверхности ф-ии Z= f(x,y) в т.М0 (х0,у0,z0).

Ур.касат.плоскости: F’x(x0; y0; z0)(x- x0)+ F’y(x0;y0;z0)(y-y0)+ F’z(x0;y0;z0)(z-z0)=0.

Нормаль – это  прямая перепенд.касат.плоскости, проведен. в точке касания.

Уравнение нормали имеет вид: 
 

Замечание!!! Если поверхн.задана в виде Z= f(x;y), то для того, чтобы составить Ур-е касат.плоскости и нормали, надо записать F(x,y,z) =f(x,y)- Z = 0. 

В. 9 Предположим, что ф-я Z= f(x,y) имеет неприрывн. 1-ые частные производные по переменным х и у в некотор.окресности т. М (х, у). Предположим, что аргументы Х и У явл.диффиринцируемыми ф-ии независимой переем. t, т.е. х = х(t); у = у(t), тогда ф-я Z= f(x(t); y(t)) явл.сложной ф-ей от независимой переменной t. Пусть требуется вычислить значения 1-ой производной от ф-ии Z по переменной t.                               находятся по следующей формуле:  
 

- Формула для  диффиринц.сложной ф-ии двух переем. 

В. 19 СМ явл.универсальным методом,к-ым можно решить любую задачу ЛП. Идея СМ сост.в том, что использов.решение приведения к общ.виду, т.е. к системе m ур.с n неизвестными, где m<n, находят любое базисное решение по возможности наиб.простое. Если первое базисное решение окажется допустимым, то проверяем его на оптимальность. Если оно не оптимальное, то переходим к другому допустимому базисному решению.

СМ гарантирует, что при этом новое решение  если и не будет оптимальным, то приблизится  к нему, так поступают неск.раз, пока не находят решение, к-ое явл.оптимальным.

Если 1-ое найденное базис.реш.окажется недопуст.,т.е. имеются допуст.компоненты, то с помощью СМ осуществл.переход к другим базисным решениям. Т.о. применение СМ расподается на 2 этапа: 1. Нахождение допустимогобазисного решения системы ограничений. 2. Нахождение оптимального решения.

При этом каждый этап может включать неск.шагов соотв.тому или иному баз.реш. Т.к.число допуст.баз.реш.всегда ограничено, то ограничено и число  СМ. 

В. 25 Методы решения тр.задач: Метод С-З угла

Заполнять табл.тр.задачи в этом методе нач.с левом верхн.угла. При этом методе нулевые перевозки заносятся в табл.только в том случае, когда они попадают в клетку подлежащую заполн., т.е. в табл.занос.только баз.нули. Остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми. После построен.нач.опорного решения, необх.проверить, что чмсло заполн.кл.равняется N = m+ n-1. После составл.плана перевозок вычисляем стоимость перевозок, т.е. находим значение лин.ф-ии. Замечание!!! Необх.иметь ввиду, что метод С-З угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное реш.построен.по этому методу чаще всего не явл.оптимальным.

Для того чтобы  тр.з. имела решения, необходимо и  достаточно, чтобы суммарные запросы  поставщ.равнялись суммарному запросу  потребит., т.е. задача была с правильным балансом.

Модель  с неправильным балансом

Если сумма  ai неравно сумме в j-х, то добавляют строку фиктивного поставщика или фиктивного потребителя. В эту строку вносится значен. Cij =0. 

В. 10 Если задана ф-я Z= f(x,y) и вычислены ее частные производные                                             , то говорят эти частные произ-ые в свою очередь явл.ф-ми двух переменных от каждой из них можно взять производную как по Ч, так и по У.

Приняты следующие  обозначения частн.производных 2-го порядка от ф-ии двух переменных. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Замечание!!! Обращаем внимание на то, что порядок диффиринцирования читается с права на лево, т.е. Z’’xy – означает в нач.взята произв.по у и затем вычисл.произ.по переменной х.

Z’’xy и Z’’yx называются смешанными частными производными 2-го порядка.

Теорема (Шварца): Если для ф-ии 2-го порядка смеш.частн.произв.2-го порядка не прирывны, то они равны между собой, другими словами результат смешанного диффиринциров.независит от порядка. Согласно теореме Шварца, ф-я 2-ух переменных имеет три различные частн.произв.2-го порядка, тогда по этой же теореме различных частн.произв.3-го порядка будет четыре,пять и т.д.

Выражение                                                                         называется 2-ым диффиринциалом или  диффиринц.2-го порядка от ф-ии двух переменных. Диффиринц.порядка выше 2-го определ.аналогично диф-лу 2-го порядка.  

В. 11 т. М (х0, у0) называется точкой экстремума max или min, если сущ. окрестность т. М такая, что для всех точек с корд. (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0, y0) >= f(x, y) или f(x0, y0)< f(x, y) для max и min соответственно.

Теорема Ферма. Пусть т.(х0, у0) есть точка экстремума диффиринцируемой ф-ии Z= f(x, y), тогда частн.произв. f’x(x0, y0) и f’y(x0, y0) равны 0.

Точки в которых  выполн.необх.условие экстремума, назыв.критич.или стационарными.

Теорема(достаточное  условие экстремума): Пусть В стационарной т. (х0, у0) и некорой ее окрестности ф-я f(x, y) имеет неприрывн.частные производные до второго порядка включительно 
 
 
 
 

В. 12 Диффиринцируем ф-ю Z по переем. Х, как сложную ф-ю. Будем иметь         

Необход.условн.экстремума заключается в том, что последняя  производная (*)=0. 
 

Профиф-ем аналогичным  образом по переем.Х, равенство q(x, y)=0. 
 

Умножим обе  части последн.рав-ва на число               и складываем результат с соответств.частями равенства. 
 

Сгруппируем слагаемые  последн.рав-ва 
 

Это соотношение  выполняется во всех точках экстремума.

Для исследования характера экстремума, проводятся дополнит.исследов. Вводят вспомогат.ф-ю (Ф-я Лагража)                               ……………                          …………                  .

Метод множителей Лагранжа.

1. Составить  впомогат.ф-ю F(x,y,    ).

2.найти частн.производные  ф-ии F(x,y,     ).

3.Приравн.к 0 эти частн.произв., получить систему Ур-ей для нахождения Крит.точек и найти эти точки.

4.Вычислить знач-е  ф-ии в критич.точках и гр-ах  области.

5.Выбрать из  этих точек наиб. И наим.значение.

 

В. 17 Основная задача ЛП: В общем случае задача ЛП сводится к отысканию такого решения Х=(х1,х2…хn) удовлетворяющего системе ограничений