44. Необходимое условие  локального экстремума  функций нескольких  переменных.

Для того чтобы дифференцируемая функция  имела локальный экстремум в  точке  необходимо чтобы все производные 1-го порядка в точке () = 0, т.е. , ()

45. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Если и то - точка максимума.

Если и то - точка минимума.

     Тогда: 1. если ∆ > 0, то функция  f(x;y) в точке (x₀;y₀) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

   2. если ∆ < 0, то функция f(x;y) в точке (x₀;y₀) экстремума не имеет.

   В случае ∆ = 0 экстремум в точке  (x₀;y₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

46. Условный экстремум.

Пусть Z=f() определена в области D с Rⁿ  и пусть Х с D – где Х это некоторое подмножества в области D. Точка Х₀ с Х – наз. Точкой локального экстремума (лок. Маккс. Или лок. Мин ) ф-ии f если существует f()≤ f(), (min) f()≥ f()

Пусть Х задано системой уравнения 

47. Метод Лагранжа

Для задачи об экстремуме функции f (х₁, x₂,..., x_n) при условиях (уравнениях связи) φ_i(x₁, x₂, ..., x_n) = 0, i = 1, 2,..., m, функция Лагранжа имеет вид

Множители y₁, y₂, ..., ym наз. множителями Лагранжа.

Если  величины x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., ym суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

  i = 1, …, n; i = 1, …,m,

то при  достаточно общих предположениях x₁, x₂, ..., x_n доставляют экстремум функции f.

 

48. Наибольшее и наименьшее  значение непрерывной  функции на замкнутом  ограниченном множестве.

   Пусть функция z = f(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего М и наименьшего m значений (т.н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

   Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции z = f(x;у) состоит в следующем:

   1. Найти все критические точки  функции, принадлежащие  , и вычислить значения функции в них;

   2. Найти наибольшее и наименьшее  значения функции z = f(x;у) на границах области;

    3. Сравнить  все найденные значения функции  и выбрать из них наибольшее  М и наименьшее m. 

 

Оглавление

1. Числовые ряды. 1

2. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды. 1

3. Свойства сходящихся рядов 1

4. Необходимое условие сходимости числового ряда. 2

5. Числовые ряды с неотрицательными членами. 2

6. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. 2

7. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами. 3

8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. 4

9. Признак лейбница для знакочередующихся числовых рядов. 5

10. Степенные ряды. 5

11. Теорема Абеля 5

12. Интервал и радиус сходимости степенного ряда 5

13. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости. 6

14. Ряды Тейлора (Маклорена) 6

15. Достаточное условие разложимости в ряд Маклорена 7

16. Разложение в ряд Маклорена функций e^x, sin x, cos x, 1/(1+x), ln(1+x), (1+x)^a 7

17. Пространство Rⁿ. 8

18. Расстояния в Rⁿ. Свойства расстояния. 8

19. Окрестность точки в Rⁿ 9

20. Внутренние и граничные точки множества 9

21. Открытые и замкнутые множества 9

22. Изолированные и предельные точки множества 9

23. Ограниченные множества 10

24. Сходимость последовательности точек Rⁿ , ее сходимость покоординатной сходимости 10

25. Функция нескольких  переменных 11

26. Поверхности (линии)  уровня функции  нескольких переменных 11

27-28. Предел и непрерывность  функции нескольких  переменных 12

29. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значения. 13

30.Частные  производные функции  нескольких переменных. 14

31. Дифференцируемость  ф-и нескольких  переменных 15

32. Дифференциал функции  нескольких переменных. 15

33. Достаточное условие  дифференцируемости  ф-ии нескольких  переменных. 16

34. Непрерывность дифференцируемой  функции 16

35.Однородные  функции. 16

36. Формула Эйлера  для однородной  функции. 16

37. Производная сложной  функции. 16

38. Производная по  направлению. 17

39. Градиент. Свойства  градиента. 18

40.Частные производные высших порядков. 19

41. Теорема о равенстве  смешанных производных. 19

42. Формула Тейлора  для функции нескольких  переменных с остаточным  членом в формуле  Лагранжа. 20

43. Локальные экстремумы  функций нескольких  переменных. 20

44. Необходимое условие  локального экстремума  функций нескольких  переменных. 21

45. Достаточное условие  локального экстремума  функций нескольких  переменных. 21

46. Условный экстремум. 21

47. Метод Лагранжа 22

48. Наибольшее и наименьшее  значение непрерывной  функции на замкнутом  ограниченном множестве. 23