Дайте определение  числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из

определения, сумму  ряда Σ∞ qn при q <1.

25. Функция нескольких  переменных

 Функции нескольких переменных

У = f (х_1,х_2,... ,х_п) используются для описания тех встречающихся в практических задачах ситуаций, когда значение одной величины у однозначно определяется значениями набора величин х_1, х_2,...,х_п. Иногда вместо y = f(x_l,x_2,..._,x_n) пишут у = f(А), где A = (x_1,x_2,..._,x_n) ϵ Rⁿ.

Величины х_1, х₂,...,х_п называются аргументами функции; множество допустимых значений аргументов А = ( х₁, х₂,..., х_п) называется областью определения функции и обозначается D(f). Множество значений у= f(A), получающихся при всех А из области определения, называется областью значений функции.

26. Поверхности (линии)  уровня функции  нескольких переменных

    линии (поверхности) уровня. Для непрерывной функции двух переменных у = f(x₁, х₂) линии уровня - это линии на плоскости с координатами (х₁, х₂), задаваемые уравнениями f{x_1, x₂)=c_k для некоторого набора значений функции с1,с_2, ..._,с_т. Например, горизонтали на топографической карте являются пиниями уровня для функции высоты над уровнем моря. При п > 2 говорят о поверхностях уровня.

     Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхности уровня (также называемой изоповерхностью). Поверхностью уровня скалярного поля u = u(x,y,z) называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением u(x,y,z) = c.

     Для плоского поля вместо поверхности получаются линии уровня. Примеры: изобата, изотерма и прочие изолинии.

27-28. Предел и непрерывность  функции нескольких  переменных

    Пусть дана функция у = f(А)_, и пусть D(f) - область ее определения. Предположим, что точка А₀ является предельной точкой множества D(f). Рассмотрим все сходящиеся к А₀ последовательности точек множества D(f), ни один из элементов которых не совпадает с точкой А₀. Для каждой такой последовательности {А_к} построим последовательность значений {f_k}: f_k= f(A_k). Если окажется, что все построенные так последовательности значений функции сходятся к одному, общему для них всех, числу а, то это число называется пределом функции y = f(A) в точке A₀ и обозначается .

    Функция у = f(A) называется непрерывной в точке А₀  ϵ D(f) , если предел существует и равен f(А₀). Функция у = f(А) называется непрерывной на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

 

29. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значения.

1) Если–  непрерывна на замкнутом и  ограниченном множестве, то она  ограничена на этом множестве  и принимает на этом множестве  своё наибольшее и наименьшее  значение. 2) Если z=f (x₁, x₂,.., x_n) непрерывна в некотором множестве Х и в некоторых его точках принимает значение в точках А и В, А<В, то для любой точки С: А<С<В найдется Х – точка с коэффициентом = (x₁, x₂,.., x_n) € Х такая что : f(x)=C.

3) Если  f(x) и g(x) непрерывна в точке х=х₀, то f(x) ± g(x), f(x) * g(x), f(x) ÷ g(x), где g(x) ≠ 0 непрерывна в точке х=х₀.

4) Если  f(x) непрерывна в точке х₀, а ϕ(t)- это функция одной переменной определена и непрерывна в т. t₀ = f(x₀) => ϕ (f(x)) непрерывна в точке t₀ = f(x₀) => а значит в точке х_0.

 (об  ограниченности и существовании  экстремумов)   Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области , то:

 1) функция  ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех ;

 2) функция  принимает в области наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки и , что при всех выполняются неравенства и .

 (В  этом случае точка  называется точкой минимума, а точка  - точкой максимума функции в области .)

30.Частные  производные функции  нескольких переменных.

Пусть дана ф-я Z=f(x;y), функция двух переменных, которая определена в некоторой ε окрестности точки (х₀; у₀)

▲х=х-х₀, ▲у= у-у₀ => для ¥ (х;у) € U_ε(х₀; у₀), (х;у)=( х₀ +▲х; у₀ + ▲у)

Рассмотрим  ▲_хZ = f (х₀ + ▲х; у₀)- f (х₀ ;у₀) (частное приращение ф-ии Z по Х)

▲_уZ = f (х₀ ;у₀+▲у) - f (х₀ ;у₀) (частное приращение ф-ии Z по У)

Частной производной ф-ии Z=f(x;y) попеременной х в т. (х₀; у₀) наз-ся , а по переменной у(х₀; у₀) называется

Обозначение  

 

31. Дифференцируемость  ф-и нескольких переменных

    Определение. Функция f(x, y) дифференцируема в точке (x₀, y₀) (или сокращенно ), если справедливо равенство:

1. f(x, y)=f(x₀, y₀) + A(x - x₀) + B(y - y₀) + где - некоторые константы, а

Зафиксируем одну из переменных, например: y=y₀. Тогда f(x₀, y₀) будет функцией от x и равенство (1) примет вид: f(x₀, y)=f(x₀, y₀) + A(x - x₀) + B(y - y₀) + o(x - x₀). Следовательно, число A есть производная функции f(x₀, y) в точке x=x₀. Эта производная обозначается так: и называется частной производной f(x, y) по x в точке (x₀, y₀). Аналогично: Таким образом условие дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x₀, y₀) можно представить в виде:

f(x, y)=f(x₀, y₀) ++ +

Функция может быть дифференцируема по каждой из переменных в отдельности и  при этом не быть дифференцируемой по совокупности переменных.

32. Дифференциал функции  нескольких переменных.

Главная линейная относительно Δx и Δy  часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом,

dz = Z^!_xdx + Z^!_Ydу полный дифференциал

 

33. Достаточное условие  дифференцируемости  ф-ии нескольких переменных.

Теорема :Пусть функция f(x, y) определена в некоторой окрестности точки (x₀, y₀) и f(x, y), Тогда

34. Непрерывность дифференцируемой  функции.

Если  дифференцируема в точке (х₀; у₀) то Z= f(x) непрерывна в т. (х₀; у₀).

35.Однородные  функции.

    Функция у = f(X_l,x_1,..._,x_n) называется однородной степени а, если для любой точки (х₁,х_2, …x_n) из области определения D(f) и для любого положительного числа t точка (tx_l, tx_2,..._,tx_n) тоже принадлежит D(f), и справедливо равенство

f(tx_l,tx₂,..._,tx_n) = t^a*f(x_l,x_2,..._,x_n).

36. Формула Эйлера  для однородной  функции.

f 'x (х, у)х+ f 'y (х, у)y = a f (х, у)

37. Производная сложной  функции.

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

 

38. Производная по  направлению.

Рассмотрим  функцию  от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение  этого выражения показывает, как  быстро меняется значение функции при  сдвиге аргумента в направлении  вектора  .

Данная  формула показывает, что производная  сложной функции равна произведению производной внешней функции  на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке  x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

 

39. Градиент. Свойства  градиента.

Градиентом  ф-ии Z=f(x;y), в точке М (x₀, y₀), называется вектор координаты которого = соответствующим частным производным функции f в т. М

Grad f (M) = (f ^!_x(M); f ^!_y(M))

Следствие:

Своиства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.

1.)Производная  в направлении ⊥ градиенту равно 0.

2.)Градиент ⊥ линиям уровня

3.)Свойства градиента

 

40.Частные производные высших порядков.

Рассматривая 41.я частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,    

называют  частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения

,    

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=2³ ), 4-го порядка (их будет 16=2⁴ ) и т.д.

41. Теорема о равенстве  смешанных производных.

Если  смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.

 

42. Формула Тейлора  для функции нескольких  переменных с остаточным  членом в формуле  Лагранжа.

 

43. Локальные экстремумы  функций нескольких  переменных.

    Точка М называется точкой локального минимума функции у= f(X), если существует такая окрестность М, что в любой точке Xэтой окрестности выполняется неравенство f(М) ≤ f(X).

    Аналогично точка М называется точкой локального максимума функции y = f(X), если существует такая окрестность М, что в любой точке X этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≥ f(X).

Точки локальных минимумов и максимумов функции у = f(X) называются точками локальных экстремумов данной функции (рис. 18).