Ряды Фурье

.

Таким образом, получаем ряд:

.

Это равенство имеет место  во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма  ряда равна среднему арифметическому  ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

4. Замечание о разложении  периодической функции в ряд  Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π:

, каково бы ни было число  λ.

Действительно, так как  ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то, полагая x = ξ - π, можем  написать при любых c и d:

.

В частности, принимая с = - π, d = λ, получим:

поэтому

Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и тоже значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов  Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования  (-π,  π) промежутком интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить

             (14)

где λ – любое число.

Это следует из того, что  функция ƒ(x) является, по условию, периодической  с периодом 2π; следовательно и  функция ƒ(x)·cоsnx, и ƒ(x)·sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов.

Пример.

Пусть требуется разложить  в ряд Фурье функцию ƒ(x) с  периодом 2π, которая на отрезке 0 < x ≤ 2π задана равенством ƒ(x)= х.

Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами:

ƒ(x) = х + 2π на отрезке [-π, 0]

ƒ(x) = х на отрезке [0, π].

В то же время  на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной формулой ƒ(x) = х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (14), приравняв λ=0.

Следовательно,

 

5. Ряды Фурье  для чётных и нечётных функций.

Из определения четной и нечетной функции следует, что  если ψ(x) – четная функция, то

.

Действительно,

так как по определению  четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Если в ряд Фурье  разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно,

                  (15)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье  разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:

              (16)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют  упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех  случаях, когда заданная функция  является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция  является четной или нечетной.

 

 

6. Ряд Фурье  для функции с периодом 2l.

Пусть функция ƒ(x) есть периодическая  функция с периодом 2 l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

х = lt / π.

Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке  –π ≤ x ≤ π:

   (17)                             

 

Возвратимся к старой переменной x:

     

Тогда будем иметь:

             (18)

Формула  (19) получит вид

,         (19)

где коэффициенты a_0, a_k,  b_k вычисляются по формулам (19). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.

Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов  Фурье от периодических функций  с периодом 2π, сохраняются и для  рядов Фурье от периодических  функций с каким-либо другим периодом 2 l.

Пример.

Разложить в ряд Фурье  функцию ƒ(x) с периодом 2 l, которая на отрезке  [-l , l] задается равенством ƒ(x) = | x |.

 

Решение. Так как рассматриваемая  функция – четная, то

Следовательно, разложение имеет вид

 

7. Разложение в  ряд Фурье непериодической функции.

Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция  ƒ(x). Покажем, что данную функцию  ƒ(x) в точках её непрерывности можно  представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ƒ₁(x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции ƒ(x).

Разложим функцию ƒ₁(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке  [a, b].

Рассмотрим следующий  важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним  определение данной функции так, чтобы при  - l ≤ х < 0 было  ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам.

Если  мы продолжим определение функции ƒ(x) при  - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = -ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам. 

Комплексная форма  ряда Фурье для функций с периодом 2π.

Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая  условиям определения:

Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).

Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем  общий член этого ряда с помощью  формул Эйлера, выражающих косинус  и синус через показательную  функцию. Имеем:

 

,

где .

Полагая ещё   получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

Для новых коэффициентов  c_n получаем формулу (учитывая формулы a_n и b_n).

Непосредственно видно, что  эта формула верна для n = 0 и  для n < 0 (последнее видно, например, из того, что   где   обозначает число, сопряженное с).

По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

Итак, в точках дифференцируемости

                (20)

где

Правая часть формулы (20) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для  функции с периодом 2π.

Комплексная форма  ряда Фурье для функции с любым  периодом. 

Пусть ƒ(x) – функция с  периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(lt/ π)  с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов  к старому переменному х и  замечая, что t = π x / l, dt=(π / l)dx, получим в точках дифференцируемости:

                         (21)

где

   (22)

Правая часть формулы (21), где коэффициенты определяются равенствами (22), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l.

Основные типы уравнений математической физики.

Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций  двух независимых переменных) следующие  дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка.

1.                        Волновое уравнение:

   (23)

К исследованию этого уравнения  приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний  стержня, электрических колебаний  в проводе, крутильных колебаний  вала, колебаний газа и т. д. Это  уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

2.                        Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:

    (24)

К исследованию этого уравнения  приводит рассмотрение процессов распространения  тепла, фильтрации жидкости и газа в  пористой среде (например, фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.

3.                        Уравнение Лапласа:

    (25)

К исследованию этого уравнения  приводит рассмотрение задач об электрических  и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение  является простейшим уравнением эллиптического типа.

В уравнениях (23), (24) и  (25) искомая функция u  зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, волновое  уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид:

   (26)

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными  имеет вид:

     (27)

уравнение Лапласа с тремя  неизвестными переменными имеет  вид:

    (28)

Решение уравнения  колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье).

Метод разделения переменных (или метод Фурье) является типичным для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти  решение  уравнения

   (29)

удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, t) = 0,                                                   (30)

u (ℓ, t) = 0,                                                   (31)

u (x, 0) = ƒ(x),                                              (32)

                           (33)

Будем искать (не равное тождественно нулю) частное решения уравнения (39), удовлетворяющее граничным условиям (30) и (31), в виде произведения двух функций X(x) и T(t),  из которых первая зависит только от х, вторая только от t: 

u (x, t) = X (x) T (t).                                   (34)

Подставляя в уравнение (29), получаем:

X (x) T′′(t) = a² X′′(x) T(t).                                

Разделив члены равенства  на a² XT

         (35)

В левой части этого  равенства стоит функция, которая  не зависит от х, слева – функция, не зависящая от t. Равенство (35) возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от х, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим его через – λ, где λ > 0 ( позднее будет рассмотрен случай λ < 0). Итак,

Из этих равенств получаем два уравнения:

X′′ + λX = 0,                                            (36)

T′′ + a² λT = 0.                                         (37)

Общие решения этих уравнений  будут:

                                                                                     (38)

(39)

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Подставляя выражения X(x) и T(t) в равенство (34), получим:

Подберем теперь постоянные А и В так, чтобы удовлетворялись условия (30) и (31). Так как T (t) тождественно неравна нулю (в противном случае u (x, t) ≡ 0,  что противоречит поставленному условию),то функция X (x) должна удовлетворять условиям (30)

и (31), т. е. должно быть Х (0) =0, Х (ℓ) = 0. Подставляя значения х=0 и х = ℓ в равенство (38), на основании (30) и (31) получаем:

0 = А · 1 + В · 0,

Из первого уравнения  находим А = 0. Из второго следует:

В ≠ 0, так как в противном  случае было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0, что противоречит условию. Следовательно, должно быть

откуда

  (40)

(мы не берем значение n = 0, так как в этом случае  было бы Х ≡ 0 и u ≡ 0). Итак, мы получили:

     (41)

Найденные значения λ называются собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции Х (х) называются собственными функциями.

Замечание. Если бы мы знали вместо – λ выражение + λ = k², то уравнение (36) приняло бы вид

Х′′- k²Х = 0.

Общее решение этого уравнения:

Х = Аe^kx + Be ^-kx .

Отличное от нуля решение  в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (30) и (31).

Зная λ^1/2, мы пользуясь равенством (39) , можем написать:

        (42)

Для каждого значения n, следовательно, для каждого λ, выражения (41) и (42)  подставляем в равенство (34)и получаем решение уравнения (29), удовлетворяющее граничным условиям (30) и (31). Это решение обозначим u_n (x, t):

        (43)

Для каждого значения n мы можем брать свои постоянные C и D и потому пишем C_n и D_n (постоянная В включена в C_n и D_n). Так как уравнение (30) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция, представленная рядом

или

        (44 )также будет решением дифференциального уравнения (29), которое будет удовлетворять граничным условиям (30) и (31). Очевидно, ряд (44) будет решением уравнения (29) только в том случае, если коэффициенты C_n и D_n таковы, что этот ряд сходится в ряды получающиеся после двукратного почленного дифференцирования по х и по t.

Решение (44) должно еще удовлетворять начальным условиям (31) и (32). Этого  мы будем добиваться путем подбора постоянных C_n и D_n.  Подставляя в равенство (44)  t = 0, получим :

      (45)

Если функция ƒ(x) такова, что в интервале (0, ℓ) ее можно  разложить в ряд Фурье, то условие (45) будет выполняться, если положить

          (46)

Далее, дифференцируем члены равенства (44) по t и подставляем t = 0. Из условия (33) получается равенство

Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:

 

или

    (47)

Итак, мы доказали, что ряд (44), где коэффициенты C_n и D_n определены по формулам (46) и (47), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t),  которая является решением уравнения (29) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (30) – (33).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (44) представляет собой решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция ƒ(x) должна быть дважды дифференцируемой, а функция φ(x) – один раз дифференцируемой.

Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процесс распространения  тепла в трехмерном пространстве. Пусть u(x, y, z, t) – температура в  точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла  через площадку ∆s, т. е. количество тепла, протекающего за единицу времени, определяется формулой