Ряды Фурье

Содержание:

1.            Введение.

2.            Понятие ряда Фурье.   

2.1. Определение коэффициентов  ряда Фурье.   

2.2. Интегралы от периодических  функций.

3.            Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1.        Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4.            Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5.            Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6.            Ряды Фурье для функций с периодом 2 l.

7.            Разложение в ряд Фурье непериодической функции. 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской  Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье  относятся к алгебре. Уже в  лекциях 1796 он изложил теорему о  числе действительных корней алгебраического  уравнения, лежащих между данными  границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий  Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении  тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую  роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга  стала источником всех современных  методов математической физики. В  этой работе  Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали  хорошо разработанным средством  в теории уравнений в частных  производных при решении граничных  задач.

 

1. Понятие ряда  Фурье.     

 Ряды Фурье играют  большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом  называют ряд вида

или, символической записи:

                                  ( 1 )

где ω, a₀, a₁, …, a_n, …, b₀, b₁, …,b_n, …-  постоянные числа (ω>0) .      

 К изучению таких  рядов исторически привели некоторые  задачи физики, например   задача о колебаниях  струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано  с задачей представления данного движения, описанного уравнением  у = ƒ(χ), в виде  суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда  вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который  сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция  ƒ(x)  разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой  точке х₀, в силу периодичности функций   (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида  (m- любое целое число), и тем самым его сумма  S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем          

   

а потому и  , т. е. S(x₀+T)=S(x₀). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

 

2. Определение  коэффициентов ряда по формулам  Фурье.

Пусть периодическая  функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом,  сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:          

 ƒ(x)= .                           (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части  этого равенства, равняется сумме  интегралов от членов этого ряда. Это  будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов  данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

        (3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:            

  ,           

  ,

.

Таким образом, , откуда

.       (4)

Пространство  функций со скалярным произведением.

Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

                          (5)

Очевидно для любых  кусочно-непрерывных на [a, b] функций  ƒ , φ , ψ  выполняются свойства:

1)                                  (ƒ , φ ) =( φ, ƒ  );

2)                                  (ƒ , ƒ ) и из равенства (ƒ , ƒ ) = 0 следует, что ƒ(x) =0 на  [a, b], исключая, быть может, конечное число точек x;

3)                                  (α ƒ + β φ , ψ) = α  (ƒ , ψ) + β ( φ , ψ),

где α, β – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных  функций, определенных на отрезке [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле  (5), мы будем обозначать,  и называть пространством

Замечание 1.

В  математике называют пространством = (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (5). Рассматриваемое пространство  есть часть . Пространство  обладает многими свойствами пространства , но не всеми.

Из свойств 1),  2), 3) следует важное неравенство Буняковского  | (ƒ , φ ) | ≤ (ƒ , ƒ )^½ (φ , φ ) ^½, которое на языке интегралов выглядит так:

Величина

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1)                 || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;

2)                 || ƒ + φ ||  ≤ || ƒ(x) ||  || φ ||;

3)                 || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке  интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f_n }, принадлежит к ,сходится к функции  принадлежит   в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если

Отметим, что если последовательность функций ƒ_n (x)  сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) -  ƒ_n (x)  по абсолютной величине должна быть  мала для всех х из отрезка [a, b].

В случае же, если ƒ_n (x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n. 

 

2.1. Интегралы от  периодических функций.

Пусть ƒ(x) – периодическая  функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х₀, х₀+Т]. Тогда величина интеграла остаётся при любом х₀ одной и той же: для любых х₀, х₀'

. 

 

2.2. Интегралы от  некоторых тригонометрических  функций.

Укажем значения некоторых  интегралов: 

       (k = 1,2,…),                      (7)

  (k =1,2,..; m =1,2,…),                        (8)

                              (9)

(k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠ m),

    (k =1,2,…)                          (10)

Теперь можем вычислить  коэффициенты Фурье a_k и b_k ряда (2). Для разыскания коэффициента a_n при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:

                                            (11)

                                              (12)

  Коэффициенты, определенные по формулам (4), (11), (12) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (12) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).

В некоторых случаях, для  более узких классов функций, формулы (11), (12) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье.

Обратим внимание, что постоянная  в (2) пишется в таком виде,  чтобы придать единообразие формулам  (11) и (12).

Вышеприведенные соображения  показывают, что поиски тригонометрического  разложения данной функции целесообразно  начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса  о том, для каких функций ряд  сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции  ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд  Фурье, что обычно записывают в виде:

ƒ(x) ~ ,                      (13)

про который известно, что  его коэффициенты вычислены по функции  ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (11) и (12), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции.

Из определения ряда Фурье  не следует, что функция должна в  него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая  функция допускает разложение в  равномерно сходящийся ряд вида (13), то этот ряд будет её рядом Фурье. 

 

 

3. Признаки сходимости  рядов Фурье.

Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?  

Сформулируем теорему, которая  даст достаточные условия представимости функции ƒ(x) рядом Фурье.

Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х₁, х₂, …,х_n-1  на интервалы (а, х₁), (х₁, х₂),…, (х_n-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.

Теорема.

Если периодическая функция  ƒ(x) с периодом 2π – кусочно  монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x) справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то

 .

Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому  ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются  в математической физике и её приложениях  к конкретным задачам механики и  физики.

Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле.

При выводе формул  (4), (11), (12) мы заранее предполагали, что функция ƒ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ƒ(x) существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (11), (12), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты a_0, a_k и b_k и составить тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье, соответствующий данной функции.

Является ли построенный  таким образом ряд Фурье сходящимся и если он сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?

Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции  имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия  сходимости ряда Фурье, и, следовательно, возможность разложения функций  в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту  теорему, введем два определения.

Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [a, b], если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Основное определение.  Функция ƒ(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если:                       

1)функция непрерывна  на сегменте [a, b] или же имеет                                        

       на нем конечное число точек разрыва 1 рода;                 

2) функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

 

3.1. Пример разложения  функции в ряд Фурье.

Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется следующим  образом: ƒ(x) = х , -π < x ≤ π.

Эта функция – кусочно  монотонная и ограниченная. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.

 

По формуле (4) находим:

Применяя формулам (11), (12) и интегрируя по частям, получим: