Рассмотрим  функцию f(x) = x² – 5x + 4 

   D = 9, D > 0; f(x) = 0   при x = 4 или x = 1; Изобразим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак (см. рис.)

   

   Ответ: (–µ;1] U [4;+ µ) 

   Если  решать это неравенство методом  интервалов, то решение будет выглядеть  следующим образом:

   x² – 5x + 4 > 0

   Пусть f(x)= x² – 5x + 4

   1) D(f) = R

   2) f(x) = 0 при x = 1 и x = 4

   3) f(x) = (x – 1)( x – 4)

   

   4) f(x) > 0 при x € (–µ;1] U [4;+ µ)

   Ответ:(–µ;1] U [4;+ µ)

   Пример 2. Решить неравенство:

     –3x² + 2x + 1 ≤ 0

   Рассмотрим  функцию f(x) = –3x² + 2x + 1 

   D = 16, D > 0; f(x) = 0   при x = 1 или x = –1/3; Изобразим квадратичную функцию на координатную прямую и рассмотрим промежутки где функция не меняет знак (см. рис.)  

   Ответ: (–µ;–1/3] U [1;+ µ)

   Вывод: При решении квадратичных неравенств удобно пользоваться свойствами квадратичной функции и не использовать метод интервалов.

 

    2.3 Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

   Дробно-рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.

   Решение этих неравенств сводится к отысканию  интервалов, между которыми знак не изменяется, и точек, разделяющих  их.

   Пример1. Решить неравенство:

    .

   Решение. Раскладывая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде:

   

   Пусть f(x) =

   1. D(f) – все x, кроме 0 и 5.

   2. f(x) = 0 при x²(x – 1)(x – 2) = 0

   3. на D(f)

   (0 – корень чётной степени)

    Функция f(x) имеет канонический вид, поэтому получим знаки на промежутках

   4) f(x) < 0 при x € (–∞; 0)Y(0;1)Y(2;5)

 

Пример 2. Решить неравенство:

Решить  неравенство 

Решение.

 

Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.

   Вывод: Очевидно, что использование метода интервалов при решении дробно-рациональных неравенств, оптимизирует процесс нахождения решений. 
2.4 Решение иррациональных неравенств методом интервалов.

   При решении иррациональных неравенств используются возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную  степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д.

   При решении можно придерживаться такого плана:

1. Найти область определения исходного неравенства;
2. Решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;
3. Из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства;
4. Проверить оставшиеся корни методом подстановки.
5. Перенести ответ на координатную прямую и сопоставить знак со значением в данной точке.

   Пример 1: Решить неравенство:

 
 

   Пример 2. Решить неравенство:

 

Пример 3. Решить неравенство:

 
 

   Вывод: Иррациональные неравенства можно решать методом интервалов. Но если неравенство имеет вид < g(x) или ≥ g(x), то проще решать неравенство, используя стандартную схему. 

 

    Заключение

         Метод интервалов, используемый в решении неравенств, позволяет сделать решение более осмысленным в их изучении.

           В курсе математики в школе должна проводиться установка на то, что требования решить неравенство эквивалентно требованию найти множество значений аргумента, при которых значение функций больше или меньше соответствующих значений функции .

          От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости.

Решение таких задач воспитывает:

-       умение схематизировать;

-       развивает интуицию;

-       прививает навыки дедуктивного  мышления;

-       развивает творческие исследовательские  способности.

          Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое значение. 
 
 
 
 
 
 

   Литература

   Алгебра. Учебник 9 класса общеобразовательных  учреждений под редакцией С.А.Телятевского. 2005. – М.:”Просвещение”. 46- 50 стр.

   Задачи  по математике. Уравнения и неравенства. -  М.: издательство ”Наука”, 1997. –  с 128 – 144.

   Математика  – абитуриенту. Всё о вступительных  экзаменах в ВУЗы. Издание 15, исправленное и дополненное. В.В.Ткачук. – Москва.: издательство “МЦНМО” 2008. – 80 – 83 стр.

   Пособие для поступающих в вузы. под  редакцией Г.Н.Яковлева – Москва.: издательство “Наука”, 1981. – 83 – 87 стр.

   Энциклопедия  для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. Э68 М.Д.Аксёнова. – М.:Аванта+, 2002. – 244 – 247 стр.

   Интернет - источники.

   Метод интервалов – Алгебра – Школа  LV. http://shkola.lv/?mode=lsntheme&themeid=6

   Метод интервалов. Москва 2009 г. http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=624792.

   Методика написания рефератов. Саратов, 2000.

   http://www.oprave.ru/statii/texts54.html.