Решение неравенств методом интервалов

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»

Факультет математики, физики и информатики

Кафедра геометрии и МПМ 
 
 

Реферат по элементарной математике

«Решение неравенств методом интервалов» 

 

 

            Выполнил:

Студент 3 курса группы М-3-Б

Титова  Ирина Сергеевна

Проверил:

Садыкова  Лилия Камиловна,

ст.преподаватель, канд. пед.наук

Подпись__________________ 

Оценка____________ 

                                        

                                             Самара

2011

 

Содержание

Введение…………………………………………………………...…………...3

1.Основные этапы решения неравенств……………………………………..5

2.Решение неравенств методом интервалов…………………………………8

2.1. Решение линейных неравенств методом интервалов………………….8

2.2. Решение квадратичных неравенств методом интервалов……….......10

2.3 .Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов….12

2.4. Решение иррациональных неравенств методом интервалов………14

Заключение……………………………………………………………………16

Литература  …………..………………………………………………………...17 
Введение:

          Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Это сравнительно новая тема, которая ранее не входила в школьный курс математики, на данном этапе, недостаточно разработана.

          Современные школьники начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной школе, где используются задания вида: «сравнить числа», «сравнить значения выражений», «сравнить выражения не вычисляя их значения», решают логические задачи, предполагающие составление числовых неравенств. Далее содержание темы «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах - 38%. В школьном курсе алгебры изучаемы классы неравенств можно разбить на группы.

    

Первая  группа получает достаточное развитие, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы.

Остальные же группы неравенств в этом курсе  только начинают изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и началах анализа 10-11 классов. Изучаются только неравенства основных классов, кроме того, ряд задач из школьного курса сводятся к составлению и решению неравенств: нахождение области определения функции; исследование функции (монотонность, ограниченность функции). При изучении неравенств значительное внимание уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных задач. На начальных этапах изучения курса алгебры эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. Затем, по мере накопления опыта решения неравенств различных классов, все большую роль приобретает дедуктивное обоснование процесса решения. Наконец, достигнутый уровень владения различным способами решения позволяет выделить наиболее часто используемые преобразования: равносильность и логическое следование.

Кроме того,  в ходе изучения неравенств широко используется метод интервалов, наглядно-графический метод и функциональный метод.

            Цель моей работы – изучение метода интервалов, как универсального метода решения неравенств.

   Для достижения этой цели необходимо выполнить  ряд задач:

1. Познакомиться с идеей метода в разных математических изданиях.
2. Проанализировать особенности использования этого метода разными авторами.
3. Подробно изучить метод интервалов для решения дробно-рациональных неравенств.

 

    1.Основные этапы решений неравенств.

   Решение неравенств вида F(x)/Q(x) > 0

    (F(x)/Q(x) < 0 ;(x)/Q(x) ≥ 0 ;(x)/Q(x) ≤ 0).

1. Разложить многочлены F(x) и Q(x) на линейные множители. Найти область определения функции f(x)..
2. Найти корень каждого множителя и нанести все корни на числовую ось. Найти все корни - значит решить уравнения F(x) = 0 и Q(x) = 0. Отметить на числовой оси корни уравнений в порядке возрастания. Эти числа разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов рациональное выражение сохраняет, а, переходя через отмеченные точки, меняет знак на противоположный.
3. Определить знак неравенства справа от большего корня. Расставить знаки на интервалах, начиная от крайнего правого. Так как все множители имеют канонический вид, то над правым интервалом всегда ставится знак «+» и далее знаки чередуются. В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена x - a: точка a  делит числовую ось на две части – справа точки a  двучлен  x - a положительный, а слева от точки a  – отрицателен x - a.
4. Проставить знаки в остальных интервалах, учитывая, четное или нечетное число раз встречается каждый корень. Если корень выражения имеет четную степень (например: (x - 5)² = 0  =>  x = 5 - корень второй степени), то около этого корня выражение не меняет знака. Если корень выражения имеет нечетную степень (например: (x - 5)³ = 0  =>  x = 5 - корень третей степени), то переходя через этот корень, выражение меняет знак.
5. Выписать ответы неравенства в виде интервалов. Для неравенства вида P(x) > 0 (P(x) ≥0) или F(x)/Q(x)> 0 (F(x)/Q(x)≥ 0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак "+". Для неравенства вида F(x) < 0 (F(x) ≤0) или F(x)/Q(x)< 0 (F(x)/Q(x)≤ 0) ответом считается, объединение интервалов, на которых функция сохраняет знак   "-".

 

Метод интервалов применяют для неравенств вида f(x)>0 (вместо знака > могут быть знаки ). На числовой оси, внутри области допустимых значений, выделяют интервалы, на которых функция f(x) имеет постоянный знак. Часто концевыми точками таких интервалов являются точки, в которых f(x)= 0 или не определена, т.е. задача о выделении интервалов знакопостоянства сводится в этом случае к решению соответствующих уравнений. Затем определяют знаки на этих интервалах, т.е. у каждого из получившихся интервалов ставят знак плюс или минус в зависимости от того какой знак имеет f(x) на данном интервале, изучают концевые точки и выписывают ответ.

Рассмотрим  важный частный случай применения метода интервалов для алгебраических неравенств.

Сформулируем  правило расстановки знаков при  решении неравенств вида

где .

На координатную ось наносят числа x₁,x₂,...,x_n, которые разбивают её на интервалы знакопостоянства функции, стоящей в левой части неравенства. В промежутке справа от x_n ставят знак “+”, затем, двигаясь справа налево, при переходе через точку x_i меняют знак, т.е. левее x_n ставят знак ”–”, затем “+” и т.д.

Множество решений неравенства будет объединение  интервалов, в каждом из которых  поставлен знак “+”.

Аналогично  может быть описано решение неравенств, в которых вместо знака > стоят  знаки <, .

При решении  неравенств вида

;

правило расстановки знаков изменяется в  том смысле, что, двигаясь, справа налево, при переходе через точку x_i меняют знак, если k_i – нечетное, и не меняют знак, если k_i четное. После этого множество решений определяют, как и в предыдущем случае.

При решении  рациональных неравенств

,

где P(x) и Q(x) – многочлены, методом интервалов на числовую ось наносятся точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Далее на полученных интервалах расставляются знаки, которые определяются или непосредственными вычислениями в удобных точках, взятых внутри этих интервалов, или в соответствии с правилом расстановки знаков и выписывается ответ. В частности, если P(x) и Q(x) не

в любом  интервале, а в остальных интервалах

знаки будут чередоваться. 

 

                     2. Решение неравенств методом интервалов.

               2.1 Решение линейных неравенств методом интервалов.

   Линейным называется неравенство вида ax>b (или соответственно ).

   Если  a > 0, то неравенство ax>b равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

   Если  a < 0, то неравенство ax>b равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток .

   Если  a = 0, то неравенство принимает вид 0 * x > b, т.е. оно не имеет решений, если b ≥ 0, и верно при любых х, если b<0.

   Примеры:

   1.Решите  неравенство: 0,5x + (x – 4) ≥ 5

   I способ.    Рассмотрим функцию f(x) =1,5x – 9  

   D(f) = R; f(x) = 0 при x =6. Рассмотрим промежутки где функция не меняет знак.(см. рис.)

   

   Ответ: [6; +µ).  
 

   II способ.    С использованием свойств неравенств.

   0,5x + (x – 4) ≥ 5

   0,5x + x – 4 ≥ 5

   1,5x ≥ 9

   x ≥ 9/1,5

   x ≥ 6

   

   Ответ: [ 6 ; + µ).  

   Вывод: Очевидно, что при решении линейных неравенств не использовать метод интервалов, так как решение неравенств с использованием его свойств более простое. 
 

 

    2.2 Решение квадратичных неравенств методом интервалов.

   Квадратичным называется неравенство вида ax² + bx + c > b (или соответственно ax² + bx + c < b, ax² + bx + c ≥ b, ax² + bx + c ≤ b) где x  — переменная, a ≠ 0.

   Возможны 4 случая расположения параболы y = ax² + bx + c:

1. Если  дискриминант  положителен, то в этом случае можно найти точки пересечения функции с осью X.
2. Если дискриминант меньше 0, то вычислить точки, где y = 0, нельзя, потому что таковых не существует.
3. Если a > 0, ветви квадратичной функции направлены вверх.
4. Если a < 0, ветви квадратичной функции направлены вниз.

   Пример 1: Решим неравенство x² – 5x + 4 > 0 с использованием свойств квадратичной функции.