Разработка математической модели и синтез системы управления барабанной сушилки

Рисунок 1.1 – Барабанная установка

1.2 Получение математической  модели

Барабанная сушилка  состоит из 2х основных частей –  топки и сушильного отделения. Так  как топка небольших размеров и через нее пропускается большое  количество воздуха, то ее инерционность  будет небольшой и ей можно принебречь тогда уравнение будет иметь вид:

(1)

Это уравнение  показывает, что количество тепла  получается за счет сгорания топлива  и подачи воздуха.

Сушильное отделение  имеет большие массы нагреваемого материала, в в которых может накапливаться тепло. Поэтому процессы в нем будут инерционными.

Уравнение теплового  и материального баланса имеет  вид:

 

Уравнение показывает, что количество тепла, подаваемого  в сушилку при сгорании топлива  совместно с воздухом и концентратом, выравнивается повышением температуры  внутри аппарата теплом, которое отводится  совместно с выходными газами и готовым концентратом.

Примем что:

                                             (2)

Это значит будем брать среднюю температуру материала. Кроме этого свяжем температуру отходящих газов с температурой материала, значит примем:

            (3)

После введения выше указанных допущений и некоторых  преобразований получим уравнение:

 

 

 имеет единицу  измерения время и называется  постоянной времени сушильного  аппарата.

Температура воздуха  и расход готового продукта  являются возмущающими воздействиями.

В зависимости  от характера управления сушильный  агрегат можно описать двумя  уравнениями. Для случая управленя когда расход материала постоянен получим:

 

 

Передаточная  функция:

 

Для случая управления расходом воздуха при постоянном расходе материала:

 

Передаточная  функция:

 

Получим уравнение которое характеризует возмущающее воздействие:

 

Передаточная  функция:

 

Таким образом, в  первом приближении сушильный агрегат  можно считать апериодическим звеном первого порядка.

Процесс сушки  измельченной древесины, целью которого является стабильная конечная влажность, является довольно сложным для управления.

Во-первых, низкая скорость перемещения стружки обуславливает  значительную инерционность процесса.

Во-вторых, сушилка представляет собой объект с ярко выраженным распределением параметров по длине.

В-третьих, сушка стружки  в барабане с постоянной и падающей скоростью обуславливает нелинейную зависимость выходных параметров от входных.

В-четвертых, процесс стохастичен, так как на него влияет значительное число факторов, которые в свою очередь являются случайными величинами.

 

Рисунок 1.2 - Структурная схема барабанной сушилки

 

 

 Qстр – расход стружки (кг/с).   Wвх – начальная влажность стружки (%). Твх – температура сушильного агента на входе в барабан (°С). Wвых – конечная влажность стружки (%). Твых – температура сушильного агента на выходе из барабана (°С) 

По каждому из каналов  регулирования передаточные функции  представляют собой апериодическое звено с запаздыванием. В общем  виде:

           (4)

 

где    i – входной порядковый номер,  j - выходной порядковый номер, К – коэффициент усиления; Т, сек – постоянная времени; , сек – транспортное запаздывание..

Для сушилки «Прогресс» экспериментально получены динамические характеристики каждого звена [1]. 

 

Таблица 1.1

	1-1	1-2	2-1	2-2	3-1	3-2
Канал/параметр	Q-W	Q-T	W-W	W-T	T-W	Т-Т
К	3	40	0,1	1	0,025	0,015
Т, сек	420	300	500	280	240	150
τ, сек	240	90	480	80	120	30

 

 

К – коэффициент усиления; Т, сек – постоянная времени; , сек – транспортное запаздывание.

Выберем значения эксперемента 2-1, W-W как эксперементальные.

Получим их переходные функции  в численном виде:

 

Разложим запаздывание по следующей формуле:

Для рассмотренной выше модели  τ=480, n=4.Тогда передаточную функцию запишем в следующем виде:

 

 

Получим такие переходные

Рисунок 1.3 – Переходные характеристки

1 - W1; 2 – W;

Получим эту функцию в  пространстве состояний:

 

 

Одной из распространенных форм математического описания линейных динамических систем являются уравнения следующего вида:

                                     (5)

которые называют описанием в пространстве состояний. Это название связано с тем, что при u_k = 0 достаточно задать начальное значение переменных x_i, чтобы однозначно определить состояние системы x_i(t), y₁ для любого момента времени. Модель (5) содержит n дифференциальных уравнений 1-го порядка с k управляющими входными воздействиями, а также s алгебраических соотношений для связи выходных переменных системы y с переменными состояния x. Коэффициенты a_ij, b_ik, c_li называют параметрами модели.

Уравнения (5) удобно представить в матричной форме:

                                                      (6)

где –вектор переменных состояния; u – вектор управляющих (входных) воздействий;; y- вектор выходов; A,B,C – матрицы параметров.

Выполним переход от передаточной функции системы к модели в  переменных состояниях на основе схемы аналогового моделирования. Метод рассмотрен в.

Модель (6), в сравнении с ранее рассмотренными моделями, формирует дополнительно n переменных внутреннего состояния системы, что увеличивает количество информации об объекте управления. Если модель системы управления задана с помощью одного дифференциального уравнения, которое в операторной записи имеет вид:

                                                 (6)

где и , то решение y(t) уравнения (6) совпадает с решением уравнения (5), имеющим следующие матрицы параметров:

                                        (7)

.                                       (8)

Элементы матрицы B находят из системы уравнений:

                                (9)

При этом начальные условия  согласуют следующим образом:

                          (10)

Для перехода к модели в  виде переменных пространства состояний  воспользуемся пакетом MatLab в котором уже заложен данный метод. Сначала произведём переход  к модели в виде переменных пространства состояний для заданного динамического канала, а затем для всей модели.

Получим эту функцию в пространстве состояний при помощи пакета MatLab:

W11=tf([0.1],[500 1])

W2=tf([1],[480/4 1]);

W=W11*W2^4

Wps=ss(W)

Wps =

A =

   -0.0353   -0.0155   -0.0064   -0.0050   -0.0026

    0.0313         0         0         0         0

         0    0.0156         0         0         0

         0         0    0.0039         0         0

         0         0         0    0.0020         0

B =

    0.0156

         0

         0

         0

         0

C =

         0         0         0         0    0.0166

D = 0

Построим переходную характеристику:

Рисунок 1.4 – Временная характеристика модели в пространстве состояний

figure(2)

nyquist(W)

Рисунок 1.5 – Частотная характеристика модели в пространстве состояний

Будем строить дискретную систему с помощью экстраполятора нулевого порядка. Построение дискретной модели непрерывной системы с использованием экстраполятора нулевого порядка заключается в следующем: устройство ZOH, на вход которого поступает дискретный сигнал u[k], генерирует непрерывный сигнал u(t), экстраполируя каждое дискретное значение постоянным уровнем в течение одного периода дискретности:

u(t) = u[k]           при kT_s < t < (k+1 )T_s;   (11)

Этот сигнал поступает на вход непрерывной  системы с передаточной функцией H(s), выход с которой y(t) квантуется по времени с периодом T_s секунд, в результате получаем сигнал у [к]. Структурная схема полученной дискретной модели с передаточной функцией Hd(z) приведена на рисунке 1.3:

Рисунок 1.3 - Структурная схема дискретной модели.

Передаточная экстраполятора нулевого порядка имеет вид:

     (12)

Обратно, для заданной дискретной системы с помощью функции  d2c можно построить непрерывную модель, которая при использовании экстраполятора нулевого порядка будет совпадать с исходной дискретной системой. Последнее преобразование имеет ряд ограничений:

• его нельзя применять  к дискретным системам с нулевыми полюсами;

• отрицательные действительные полюсы на плоскости z отображаются в виде пары комплексных полюсов в области s, что увеличивает порядок непрерывной системы;

• функция d2c применима только к системам подкласса tf.

Для того чтобы эффект квантования  по времени мало сказывался на динамику системы цифрового регулирования , рекомендуется выбирать период квантования из соотношения:

      (13)

где — это время достижения сигналом уровня 95% от установившегося значения  при подаче на вход единичного скачка

Мы выбирали время квантования  исходя из предположения , что время переходного процесса равняется 4 постоянным времени:

       (14)

Далее из формулы Клосса найдём время квантования, взяв 10% от постоянной времени:

      (15)

 

Получим дискретную модель выше выведенной переходной функции

T=100

WW0=c2d(W, T, 'zoh')

 

 

В результате выполнения программы  получили дискретную модель:

 

 

Рисунок 1.6 - Переходная характеристика непрерывной и дискретной системы.

 

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

1

КП 04.04.06. ПЗ

Разраб.

Валенчиц А.А

Провер.

Лялько А.А.

Реценз.

 

Н. Контр.

 

 Утверд.

Лялько А.А.

Построение временных  и частотных характеристик

 

Лит.

Листов

5

БГТУ 2013

2 Построение временных  и частотных характеристик объекта  управления

 

Выделим случай, когда входной  сигнал x(t) является элементарной функцией 1(t). Реакцию системы на воздействие 1(t) можно компактно:

                                     (16)

где W(D) называется операторной передаточной функцией или оператором. Формально W(D) можно рассматривать как дробно –рациональную функцию от оператора:

                                               (17)

Воспользуемся преобразованием  Лапласа, основываясь на утверждении

                                  (18)

если f(0) = 0. Аналогично можно записать:

                                (19)

                        (20)

для любого операторного многочлена степени k, если f(t) и ее производные при t < 0, равны нулю.

Применяя правило (20), получим

,                                   (21)

где

При этом предполагается, что  равны нулю y(0), x(0) и начальные значения производных y(t), x(t) вплоть до (n – 1)–й и (m – 1)–й соответственно. Теперь a(p), b(p) - обычные функции комплексной переменной p. Поэтому операция деления на a(p) имеет обычный смысл

.                                        (22)

Учитывая определения (22), приходим к основной формуле

                                         (23)

 

 

Посторение временных и частотных характеристик проведем при помощи вычислительного пакета Matlab:

W=tf([0.1],[ ])

figure(1)

step(W)

 

Рисунок 2.1 – Временная характеристика объекта управления

nyquist(W);

W1=pade(W)

Sy=ss(W1)

figure(2)

step(Sy)

 

Рисунок 2.2 – Частотная характеристика объекта управления

 

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

1

КП 04.04.06. ПЗ

Разраб.

Валенчиц А.А

Провер.

Лялько А.А.

Реценз.

 

Н. Контр.

 

 Утверд.

Лялько А.А.

Получение математической модели объекта управления

Лит.

Листов

5

БГТУ 2013

3 Нахождение параметров  передаточной функции объекта  управления по экспериментальной  переходной характеристике