Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 
 

Кафедра 804 
 
 
 

Курсовая  работа

по курсу  теории вероятности

и математической статистике

по теме: «Проверка гипотезы о законе распределения  по критерию Пирсона»

Вариант №130 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка  Гуманитарного факультета

Группы 10-101

Мазурева  А.Ю.

Проверил  преподаватель Семенихин К.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва. 2010г

 

Оглавление 

Текст задания……………………………………………………………………………………………………………………………..….…….3

Теоретическая часть………………………………………………………………………………………………………………………….….4

1. Случайная величина. Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины…......4
2. Оценки моментных характеристик: выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратичное……………………………………………………………………………..….……5
3. Выборка. Объем выборки. Размах выборки. Вариационный ряд. Функция распределения непрерывной случайной величины. Гистограмма……………………………………………………………....6
4. Закон распределения случайной величины. Равномерное распределение. Нормальное (гауссовское) распределение…………………………………………………………………………………..……….……7
5. Квантиль. Проверка гипотезы о распределении элементов выборки по критерию Пирсона……………………………………………………………………………………………………………………………...……9

Практическая часть………………………………………………………………………………………………………………..……….…..10

Вывод…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….…..17

Список использованной литературы………………………………………………………………………………….………….….18

 

Текст задания.

Вариант № 130

Проведено n замеров времени X  выполнения некоторых технологических операций. По имеющейся выборке оценить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Построить выборочную функцию распределения и гистограмму. На уровне значимости 0,05 по критерию Пирсона проверить следующие две гипотезы:

А) Х нормально  распределена

Б) Х равномерно распределена

 

 

Практическая  часть.

1. Исходные данные

 

2. Вариационный  ряд

Расположим числа  по возрастанию

3. Найдем выборочное математическое ожидание, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Количество  случайных чисел:  n=33

Выборочное  математическое ожидание:

;

Выборочная дисперсия:

;

;

Среднеквадратическое  отклонение:

;

4. График выборочной функции распределения:

Расположим  на оси ОХ, обозначенной на миллиметровой  бумаге, все числа выборки. Откладывая каждый раз по 1/33 по оси OY, начертим вектора, направленные от каждого предыдущего числа к каждому последующему.

 

 

 

      5. Построение гистограммы.

Х_min = -4,156

X_max = 10,98

Для построение гистограммы  разобьем весь размах выборки на 4 равных интервала. K (количество интервалов) = 4.

Границы интервалов:

Δ₁ = [-4,156; -0,372]

Δ₂ =(-0,372; 3,412]

Δ₃=(3,412; 7,196]

Δ₄=(7,196; 10,98]

Определим nj – число элементов выборки, попавших в Δ_j.

Высчитаем высоту h_j= , где Δ_j – длина интервала

h₁= =0,08

h₂= =0,088

h₃= =0,056

h₄= =0,04

Сведем  все данные в таблицу

 

 

По  полученным данным построим гистограмму: 

 

      6. λ =0,05 – вероятность опровергнуть верную гипотезу.

      7. Рассмотрим гипотезу по нормальному распределению.

Х~N(m, ²)

Δ_j = [a_j , a_j+1]

p_j = P(Xє Δ_j) Ф₀ ( )- Ф₀ ( )

p₀ = P(-∞≤X<-4,156)

p₀ = Ф₀( Ф₀(

p₁ = P(-4,156≤X<-0,372)

p₁ = Ф₀( -Ф₀( = Ф₀( Ф₀

p₂ = P(-0,372≤X<3,412)

p₂ = Ф₀( -Ф₀( = Ф₀( Ф₀

p₃ = P(3,412≤X<7,196)

p₃ = Ф₀( -Ф₀( = Ф₀( Ф₀

p₄ = P(7,196≤X<10,98)

p₄ = Ф₀( -Ф₀( = Ф₀( Ф₀

p₅= P(10,98≤X<∞)

p₅ = -Ф₀( = - Ф₀( =

Сведем  все данные в таблицу:

 

      8. Рассчитаем статистику Критерия Пирсона по формуле:

 

;

      9. Рассмотрим гипотезу по равномерному распределению.

Данные в таблице:

 

      10. Рассчитаем статистику Критерия Пирсона по формуле:

 

;

      11. Проверка гипотезы.

Уровни значимости, по которым проверяется гипотеза = 0,05

Т< (1-λ=0,95)

Квантиль:

Сравним квантиль со статистикой  критерия Пирсона  по нормальному распределению:

Сравним квантиль со статистикой  критерия Пирсона  по равномерному распределению:

 

     Вывод: Данное соотношение показывает, что обе из гипотез принимаются, так как оба из критериев Пирсона меньше квантиля.

 

Список  использованной литературы. 

1. А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов: «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый  курс с примерами и задачами». Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2007 год.
2. Лекции по теории вероятностей (преподаватель А.Р. Панков)
3. http://teorver-online.narod.ru/ - интернет - учебник с конспектом лекций по теории вероятностей.