Производственная задача о получении максимальной прибыли

Лист

 

МИНОБРНАУКИ РФ ОГУ Орский политехнический  колледж (филиал) федерального государственного  бюджетного образовательного учреждения  высшего профессионального образования  «Оренбургский государственный  университет»   Экономическое отделение
курсовая работа по дисциплине «Математические методы»
Производственная задача о получении максимальной прибыли Пояснительная записка
ОПтК 230105.5012.21 ПЗ
Руководитель работы __________________ А.П. Стрельникова «___» ______________ 2012 г. Исполнитель студент гр. ПО-318 __________________ В.Б. Селезнев «___» ______________ 2012 г.
Орск 2012
МИНОБРНАУКИ РФ ОГУ Орский политехнический  колледж (филиал) федерального государственного  бюджетного образовательного учреждения  высшего профессионального образования  «Оренбургский государственный  университет»   Экономическое отделение
Задание на курсовую работу
Производственная задача о получении максимальной прибыли Исходные данные: Продукции А и В, количество ресурсов на изготовление А и В, прибыль от их продажи
Перечень подлежащих разработке вопросов:
	выявить существенные признаки описательной модели; описать формализованную модель задачи. реализовать задачу на Microsoft Excel 2003.
Перечень графического материала: 8 рисунков,4 таблицы
Дата выдачи задания «___» ______________2012 г. Руководитель  преподаватель А.П. Стрельникова Исполнитель      студент группы ПО-318  В.Б. Селезнев Срок защиты работы «___» ______________2012 г.

 

АннИзм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

 

ОПтК 230105.5012.21 ПЗ

 Разраб.

Селезнев В.Б.

 Провер.

Стрельникова А.П

 

 

 Н. Контр.

Стрельникова А.П

 Утверд.

Юшковский А.Н.

Производственная задача о получении  максимальной прибыли

 

Пояснительная записка

Лит.

Листов

20

ОПтК, гр. ПО-318

отация

 

Пояснительная записка содержит 20 страниц, в том числе 4 таблицы и 8 рисунков. В данной работе рассматривается производственная задача о получении максимальной прибыли.

 

 

Содержание

 

Введение 5

1 Теоретическая часть 6

1.1 Постановка задачи 8

1.2 Математическая модель 8

1.3 Симплекс метод 9

2 Практическая часть 11

2.1 Реализация задачи на Microsoft Office Excel 2003 11

Заключение 19

Список использованных источников 20

 

 

 

Введение

Целью курсовой работы является cоставление плана производства изделий, обеспечивающего получение максимальной прибыли. Задача проектирования состоит в том, чтобы максимально просто добиться результата поставленной задачи. Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.  Один из разделов математического программирования - линейное программирование. Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.

 

 

 

 

 

 

1. Теоретическая часть

Математическая  модель – это система математических соотношений в абстрактной форме, описывающих изучаемый процесс  или систему.

Экономическая модель – это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.

В настоящее  время математические модели применяются  для анализа, прогнозирования и  выбора оптимальных решений в  различных областях экономики. Это  планирование и оперативное управление в производстве, управление с трудовыми  ресурсами, управление запасами, распределением ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение  инвестиций и т.д.

Обеспечение необходимой надежности модели призвано гарантировать безопасность работы с ней, достоверность получаемых результатов, разумный интеграл рассогласования  результатов моделирования с  реальными показателями действующей  экономической  системы.

В последнее  время более широкое распространение  получает использование имитационных моделей, особенностью построения которых  является максимально возможно точное отображение с моделируемой системе.

Для конкретного  предприятия можно сформировать различные варианты плана производства. При этом необходимые для его  выполнения ресурсы и полученные от его реализации результаты будут  различны. Один вариант плана с  точки зрения достижения величины какого-либо из показателей или соблюдения выполнения определенных условий будет лучше, а другой – хуже. Когда вариант  плана производства является наилучшим  с позиций достижений определенного  уровня конкретного показателя, например получение максимальной прибыли, максимальной производительностью труда и  т.д., то говорят об оптимальном плане, а процесс его составления  называют оптимальным планированием. Оптимальный план может, например, обеспечить производство максимального объема продукции при определённым уровне наличных ресурсов или минимальную себестоимость продукции и т.п.

Для получения  оптимального плана можно использовать методы линейного программирования. Их значение в условиях полного хозяйственного расчёта и самофинансирования значительно  увеличивается, так как они становятся одним из факторов повышения прибыли  и хозрасчётного дохода предприятия. Линейное программирование – направление  математики, изучающие методы решения  экстремальных задач, которые характеризуются  линейной зависимостью между переменными (неизвестными величинами) и линейным критерием.

Экстремальные задачи – это задачи, при решении  которых находится экстремум  функции, т.е. её максимум или минимум. Термин «линейное программирование»  появился впервые в 1951 году в работах  Дж. Б. Данцига и Т. Купманса (США). Однако ещё в 1938 году советский математик Л.В. Канторович приступил к практической реализации составления наилучшей производственной программы загрузки группы лущильных станков. В 1939 году вышла работа та Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», что открыло новый этап в развитии математических методов и привело к созданию нового научного направления, которое позже получило название «линейное программирование».

Необходимым условием постановки задач линейного  программирования является ограничения  на линейные ресурсы, на величину спроса, на производственную мощность и другие факторы. Другим условием постановки и  решения плановой задачи методами линейного  программирования является выбор количественно  оцениваемого критерия оптимальности  плана.

Показатель, по которому оценивается мера эффективности  плана, его оптимальность, называется критерием оптимальности. Выбрать  признак или показатель, по которому должны сравниваться варианты, достаточно сложная работа.

Критерий  оптимальности должен удовлетворять  следующим требованиям: 1) быть единственным, т.е. одним для данной задачи; 2) количественно  измеряться. Важным условием является линейная зависимость между различными неизвестными величинами (переменными), используемые в задаче. Задачи с нелинейными зависимостями между переменными являются объектом рассмотрения другого раздела математического программирования.

Предприятие выпускает два вида продукция А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида а_1, а₂, а₃ кг соответственно, а для единицы изделия В — b₁, b₂, b₃ кг. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве P₁, P₂, P₃ кг, соответственно. Прибыль от реализации изделия А составляет α руб., а единицы изделия В — β руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль готовой продукции.

1.1 Постановка задачи

 

Производственная  задача формулируется следующим образом: «Найти такие объемы производства продукции А и В, при которых потребление ресурсов в соответствии с нормативами не превышало бы их наличия, и при этом прибыль от продажи продукции была бы максимальна».

Присвоение  факторам конкретных числовых значений и сводка их в таблицу 1.

Таблица 1 – Исходные данные

	Изделие А (х1)	Изделие В (х2)	Наличие
Ресурс 1	5	4	810
Ресурс 2	4	2	980
Ресурс 3	2	6	786
Прибыль	34	36

 

Пусть x₁ – изделие A, x₂ – изделие B, x₃ – ресурс 1, х₄ – ресурс 2, х₅ – ресурс 3.

 

 

1.2 Математическая модель

 

Предполагая, что количество потребляемых ресурсов, а также прибыль, пропорциональны  объемам производства, получается следующая математическая модель задачи:

 

5х₁+4х₂ 810

4х₁+2х₂ 980

2х₁+6х₂ 786

x₁ 0, х₂ 0

F = 34х₁+36х₂

max

Система неравенств отражает ограничения на потребляемые ресурсы, а целевая функция F определяет прибыль, которую необходимо максимизировать. Значение целевой функции и есть оптимальный план (решение).

Вводятся  дополнительные переменные x₃, x₄, x₅.

 

F(x)=34x₁+36x₂

(max).

Ограничения:

5x₁+4x₂+x₃=810

4x₁+2x₂+x₄=980

2x₁+6x₂+x₅=786

x_i≥0

1.3 Симплекс-метод

 

Составляется симплекс таблица:

Таблица 2 – Симплекс-таблица 1

Базисные переменные	Свободные переменные	Х1	Х2
Х3	810	5	4
Х4	980	4	2
Х5	786	2	6
F	0	-34	-36

 

Так как  в столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено  допустимое решение. Так как в  строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца  найдем максимальный по модулю отрицательный  элемент в строке F (-36). А ведущая  строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Производится  пересчет cимплекс-таблицы.

Таблица 3 – Симплекс-таблица 2

Базисные переменные	Свободные переменные	Х1	Х5
Х3	286	11/3	-2/3
Х4	718	10/3	-1/3
Х2	131	1/3	1/6
F	4716	-22	6