Принятие решений в управлении

     Замечание. Считается, что если ИС не превышает 0,10, то можно быть удовлетворенным степенью согласованности суждений. 

Вычисление  собственных характеристик               обратно-симметричной матрицы.

     Довольно  естественно встает вопрос о том, как находить наибольшее собственное  значение положительной обратно-симметричной матрицы.

     Для n = 2 такую задачу решать мы умеем. Правда, это не так интересно: обратно-симметричная матрица 2-го порядка всегда согласованная.

     В самом деле, пусть 

- обратно-симметричная  матрица. Найдем ее собственные значения. Имеем 

Отсюда  и

     Однако  в общем случае эта задача хотя и разрешима, но технически достаточно сложна. Поэтому, желая содержательно, но относительно просто ответить на поставленный вопрос, мы вынуждены чем-то поступиться. Проще всего поступиться точностью вычислений, т. е. искать приближенное значение наибольшего собственного числа.

     Для этого поступают так: сначала  приближенно строится собственный столбец, а затем по нему ищется приближенное собственное значение.

       Опишем несколько способов приближенного вычисления собственного столбца.

     1-й  способ:

           1) суммируем элементы  каждой строки и записываем  полученные результаты в столбец,

      2) складываем все элементы найденного столбца,

           3) делим каждый  из элементов этого столбца на полученную сумму.

     2-й  способ:

           1) суммируем элементы  каждого столбца и записываем  полученные результаты в столбец,

           2) заменяем каждый  элемент построенного столбца  на обратный ему,

          3) складываем элементы столбца из обратных величин,

          4) делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

          3-й способ:

          1) суммируем элементы каждого столбца,

          2) делим элементы каждого столбца на их сумму,

      3) складываем элементы каждой строки полученной матрицы, 

      4) записываем результаты в столбец,

          5) делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходно  матрицы n.

          4-й способ:

     1) перемножаем элементы каждой  строки и записываем полученные результаты в столбец,

           2) извлекаем корень  n-й степени из каждого элемента найденного столбца,

     3) складываем элементы этого столбца,

     4) делим каждый из этих элементов  на полученную сумму.

     Каждый  из этих четырех способов, будучи примененным  к идеальной матрице, приводит к одному и тому же точному результату.

           Покажем это для 1-го случая (для остальных трех проверка проводится столь же просто).

           Пусть 

                                                                              (6)

- идеальная  матрица.

           Просуммируем элементы каждой строки матрицы (6) и, записав полученные результаты в столбец

     =                (7)

сложим  элементы этого столбца. Имеем: 

Поделим каждый из элементов столбца (7) на найденную сумму. В результате получим 

     Нетрудно  заметить, что итогом этих операций будет собственный столбец матрицы (6), сумма элементов которого равна единице. Легко убедиться и в том, что соответствующее собственное значение равно n.

     В применении к обратно-симметричной, но не согласованной матрице ни один из предложенных способов уже не дает собственного столбца. Тем не менее при вычислении собственных столбцов таких матриц мы будем пользоваться именно этими способами, получая в результате приближенные собственные столбцы.

     Сложность вычислений возрастает с увеличением номера способа, но увеличивается и точность.

     Замечание. Описанные способы приближенного вычисления собственного столбца матрицы эффективны лишь для обратно-симметричных матриц, достаточно близких к согласованным. 

        Шкалирование.

Количественные  оценки, вводимые при парных сравнениях, строят исходя из некоторых эмпирических правил, опирающихся на шаткое основание опыта. Тем не менее приобретенное опытным путем удивительным образом оказывается полезным во многих, часто совершенно непохожих ситуациях.

     При любом подходе к разрешению задачи сравнения важное значение имеет выбор шкалы сравнений. Главное требование – шкала сравнений должна быть проста и естественна.

          Вот некоторые соображения, обосновывающие наш выбор.

           Начнем с диапазона. Использование шкалы парных сравнений  в пределах от 0 до ∞ может оказаться бесполезным. Дело в том, что наша способность различать находится в весьма ограниченном диапазоне и, когда есть значительная несоразмерность между сравниваемыми объектами, действиями или обстоятельствами, наши предположения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далекими от действительности.

     Так как единица является стандартом измерения, то верхняя граница должна быть не слишком далека от нее, хотя и достаточно отдалена для того, чтобы более или менее выразительно представить наш диапазон способности различать.

     Поэтому и число сравниваемых объектов должно быть достаточно            мало. Обычные пределы - это 72.

          Почему же выбираются числа от 1 до 9?

          Вот только некоторые из возможных объяснений.

           1. Способность человека  производить качественные разграничения хорошо представлена пятью определениями: слабый, равный, сильный, очень сильный, абсолютный. Для большей точности можно пользоваться промежуточными определениями. 

     2. Классификация по трем основным  зонам - неприятие, безразличие, приятие, каждая из которых делится на низкую, умеренную и высокую степени.

         3. Психологический предел 72 предметов при одновременном сравнении подтверждает, что если взять 72 отдельных предметов, близких относительно свойства, используемого для сравнения, то требуется 9 точек, чтобы их различить.

     Замечание. Здесь уместно упомянуть и о принятой в отечественном образовании системе оценок 3, 4 и 5 с ее градациями 34и 5

     Опишем  один из способов того, как практически придать количественное наполнение сравнению объектов, действий или обстоятельств и построить соответствующую таблицу сравнений.

         Пусть даны элементы А, В, С, D и т.д. Таблица сравнений, имеющая вид

       
 
 
 
 

                                 

строится по следующим правилам:

     если А и В одинаково важны, заносим в позицию (А, B) таблицы сравнений числа 1,

         если А незначительно важнее В - число 3,

         если А значительно важнее В - число 5,

         если А явно важнее В - число 7,

         если А па сваей значимости абсолютно превосходит В - числа 9.                                             Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромиссов между оценками, слегка отличающимися от основных чисел.

     Рациональные дроби используются в случае, когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений. 

2.2. Иерархии.

     Очень часто при анализе интересующей нас структуры число элементов и их взаимосвязей настолько велико, что превышает способность исследователя воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы. Одним из таких делений является иерархическое.

     Иерархии  представляют собой определенный вид системы, основанный на предположении, что ее элементы могут группироваться в не связанные множества. При этом элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой другой вполне определенной группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы третьей группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе иерархии, называемой уровнем, независимы.

     Первым  требованием при анализе функционирования системы является построение иерархии, воспроизводящей функциональные отношения. Для этого сначала перечисляются все элементы, относящиеся к иерархии. Затем они распределяются по группам в соответствии с влиянием между группами. Так возникают уровни иерархии. Определяются цели, ради которых изучается задача, и строится иерархия.

     После того как уровни иерархии заданы, составляются матрицы попарных сравнений между этими элементами относительно каждого элемента следующего, более высокого уровня, который служит критерием при сравнении.

     Приведем  пример типичной иерархии (рис. 3). Первый уровень иерархии имеет одну цель: общее благосостояние страны. Второй уровень иерархии имеет три цели: сильную экономику, здравоохранение, национальную оборону. Приоритеты этих целей получаются из матрицы попарных сравнений относительно цели первого уровня. Целями третьего уровня являются отрасли промышленности.

     Задача  заключается в определении влияния  отраслей промышленности на общее благосостояние страны через промежуточный второй уровень. Поэтому приоритеты отраслей промышленности относительно каждой цели второго уровня получаются из матриц попарных сравнений относительно этих целей, а полученные столбцы приоритетов взвешиваются затем при помощи столбца приоритетов второго уровня, что позволяет получить в итоге искомый составной столбец приоритетов отраслей промышленности. 
 
 
 
 
 

     

         

  

 

                  Рис.3 Рис.4 
 

     Пример (распределение ресурсов). Предположим, что нам необходимо разрешить проблему распределения энергии в некоторой развитой стране между тремя её крупнейшими пользователями: бытовым потреблением (БП), транспортом (ТР) и промышленностью (ПР). Они составляют третий, или низший, уровень иерархии. Целями, по отношению к которым оцениваются эти потребители, являются вклад в развитие экономики (Э), вклад в качество окружающей среды (С) и вклад в национальную безопасность (Б). Цели составляют второй уровень иерархии. Общая цель – благоприятное социальное и политическое состояние (Бл)- первый уровень иерархии (рис. 4).