Применение интеграла

V=V₁+V₂+...+V_n=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx

^n®¥

Dx®0, а S_k®S_k+1, а объем части, заключенной между двумя соседними плоскостями равна объему цилиндра V_ц=S_оснH.

Имеем сумму произведений значений функций в точках разбиения  на шаг разбиения, т.е. интегральную сумму. По определению определенного интеграла, предел этой суммы при n®¥ называется интегралом   

                   

                 _a

V = ò S(x)dx, где S(x) – сечение плоскости, проходящей через

  ^b   выбранную точку перпендикулярно оси ОХ.

 

Для нахождения объема надо:

1) Выбрать удобным  способом ось ОХ.

2) Определить границы  расположения этого тела относительно  оси.

3) Построить сечение  данного тела плоскостью перпендикулярно  оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4) Выразить через известные  величины функцию, выражающую  площадь  данного сечения.

5) Составить интеграл.

6) Вычислив  интеграл, найти объем.

 

Пример 1:

Найти объем трехосного эллипса  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Плоские сечения эллипсоида, параллельное плоскости xOz и отстоящее от нее на расстоянии y=h, представляет эллипс

 

с полуосями  и .

Найдем площадь этого  сечения 

.

Найдем объем эллипса:

Ответ: .

 

 

 

 

Пример 2:

Найти объем тела, в  основании которого лежит равнобедренный треугольник с высотой h и основанием a. Поперечное сечение тела есть сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента.

Решение:

Имеем, Выразим площадь поперечного сечения как функцию от z, для чего предварительно найдем уравнение параболы. Длину хорды DE можно найти из подобия соответствующих треугольников, а именно:

 т.е.  . Положим , тогда уравнение параболы в системе координат uKv примет вид . Отсюда находим площадь поперечного сечения данного тела:

 или  .

Таким образом, .

Ответ:

Объем фигур  вращения

 

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

Функция S(x) у фигуры вращения есть круг.

S_сеч = pr²

S_сеч(x)=p f ²(x)       

Длина дуги плоской кривой

 

Пусть на отрезке [a;b] функция y = f(x) имеет непрерывную производную  y’ = f’(x). В этом случае длину дуги l “куска” графика функции y = f(x), xÎ[a;b] можно найти по формуле:

 

Пример 1:

Найти длину дуги кривой от x=0 до x=1 (y≥0)

Решение:

Дифференцируя уравнение кривой, найдем . Таким образом,

.

Ответ: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При  помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др. 
                                         Литература

 

1. Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд. Алгебра и математический анализ/ М.: 1993.

 

2. И.В.Савельев, Курс общей физики, том 1/ М.: 1982.

 

3. А.П.Савина. Толковый математический словарь. Основные термины/ М.: Русский язык, 1989.

 

4. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 1/ М.: Оникс 21 век, 2003.

 

5. Г.И. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу/ М.: Высшая школа, 1964.

 

6. Н.Я. Виленкин. “Задачник по курсу математического анализа”/ М.:, Просвещение, 1971.

 

7. Л.Д. Кудрявцев. “Курс математического анализа”, том 1/ М.: Высшая школа, 1988.