Применение интеграла

 

Пример:

1. ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C

x = u(x)cos x = v’(x)

 

§3. Криволинейная трапеция

 

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

 

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

 

1. Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)– непрерывная неопр. функция, xÎ[a;b].

Доказать: S = F(b) – F(a), где F(x) – первообразная f(x).

Доказательство:

1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому xÎ[a;b] поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой, проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат. Следовательно S(a)=0 и S(b)=Sтр

2. Докажем, что S(a) – первообразная f(x).
1. D( f ) = D(S) = [a;b]
2. S’(x₀)= lim( S(x₀+Dx) – S(x₀) / Dx ), при Dx®0 DS – прямоугольник

               ^Dx®0                                      со сторонами Dx и f(x₀)

S’(x₀) = lim(Dx f(x₀) /Dx) = lim f(x₀)=f(x₀): т.к. x0 точка, то S(x) –

                       ^{Dx®0                                  Dx®0}                первообразная f(x).

Следовательно по теореме  об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.

3. Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C

C = –Fa

4. S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)

II.

1). Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Шаг разбиения Dx=(b–a)/n. При этом Sтр=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=        n®¥ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn)) При  n®¥  получим, что Sтр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Предел этой суммы  называют определенным интегралом.

_b

S_тр=ò f(x)dx

^a

Сумма стоящая под  пределом, называется интегральной суммой.

Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке [a;b] при n®¥. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.

a — нижний предел интегрирования;

b — верхний.

 

Формула Ньютона–Лейбница

 

Сравнивая формулы площади  криволинейной трапеции делаем вывод:

если F – первообразная для b на [a;b], то

          _b

       ò f(x)dx = F(b)–F(a)

       ^a

          _{b                                   b}

       ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)

       ^{a                                   a}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§4. Набор стандартных картинок

 

 

	Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)³0. Надо: рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCD®A’B’CD     b S(ABCD)=S(A’B’CD) = ò –f(x)dx     a
	b                    b S= ò f(x)dx = ò g(x)dx      a                     a

 

c                                  b S = ò (f(x)–g(x))dx+ò(g(x)–f(x))dx       a                                   c

 

f(x)® f(x)+m g(x)®g(x)+m           b                    S= ò (f(x)+m–g(x)–m)dx =      a                         b = ò (f(x)– g(x))dx    a Если на отрезке [a;b]  f(x)³g(x), то площадь между этими графиками равна b ò  ((f(x)–g(x))dx a

 

Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные        b                    b                      b S=ò f(x)dx – ò g(x)dx = ò (f(x)–g(x))dx     a                     a                      a

 

 

 

b                     b                     S=ò f(x)dx + ò g(x)dx      a                     a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5. Применение интеграла

 

I. В физике

 

Работа силы (A=FScosa, cosa ¹ 1)

 

Если на частицу действует  сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно

d(mu²/2) = Fds

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds

называется работой, совершаемой силой F.

 

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f(x) (f–непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S₁(a) в S₂(b). Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков, одинаковой длины Dx = (b – a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f(x) –непрерывна, то при малом [a;x₁] работа силы на этом отрезке равна f(a)(x₁–a). Аналогично на втором отрезке f(x₁)(x₂–x₁), на n-ом отрезке — f(x_n–1)(b–x_n–1). Следовательно работа на [a;b] равна:

                

А » A_n = f(a)Dx +f(x₁)Dx+...+f(x_n–1)Dx=

= ((b–a)/n)(f(a)+f(x₁)+...+f(x_n–1))

Приблизительное равенство  переходит в точное при n®¥

                                                                                                               _b

А = lim [(b–a)/n] ( f(a)+...+f(x_n–1))= ò f(x)dx (по определению)

                      ^{n®¥                                             a}

 

Пример 1:

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой –F(s) упругость пружины при её сжатии, то

                 _l/2

E_п = A= – ò (–F(s)) dx

                ⁰

Из курса механики известно, что F(s)= –Cs.

Отсюда находим

         _{l/2                                      l/2}

Е_п= – ò (–Cs)ds = CS²/2 | = C/2 l²/4

     ^{0                                         0}

Ответ: Cl²/8.

 

Пример 2:

Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см.

Решение:

Согласно закону Гука, сила X Н, растягивающая пружину на x, равна X=kx. Коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если x=0,01 м, то X=1 Н, следовательно, k=1/0,01=100 и X=100x. Тогда

 (Дж)

Ответ: A=0,08 Дж

 

Пример 3:

С помощью подъемного крана извлекают железобетонную надолбу со дна реки глубиной 5 м. Какая работа при этом совершится, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1 м? Плотность железобетона 2500 кг/м³, плотность воды 1000 кг/м³.

Решение:

       y                                                          

        0

   Высота тетраэдра  м, объем тетраэдра м³. Вес надолбы в воде с учетом действия архимедовой силы равен

(Дж).

Теперь найдем работу A_i при извлечении надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+y, тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равна , а вес тетраэдра:

.

Следовательно,

 

(Дж).

Отсюда A=A₀+A₁=7227,5 Дж + 2082,5 Дж = 9310 Дж = 9,31 кДж

Ответ: A=9,31 (Дж).

 

Пример 4:

Какую силу давления испытывает прямоугольная пластинка длинной a и шириной b (a>b), если она наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом α и ее большая сторона находится на глубине h?

Решение: Площадь выделенной на глубине x полоски равна . Следовательно, элемент силы давления (ρ–плотность жидкости). Отсюда находим

Ответ: P= .

 

Координаты  центра масс

 

Центр масс – точка  через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x;y |a£x£b; 0£y£f(x)} и функция y=f(x) непрерывна на [a;b], а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

                                    _{b                                                    b}

x₀ = (1/S) ò x f(x) dx;  y₀ = (1/2S) ò f ²(x) dx; 

                                                     ^{a                                                     a}

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1:

Найти центр масс однородного  полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в  системе координат OXY.

 

Из соображений симметрии  и однородности замечаем, что абсцисса точки M xm=0 Функция, описывающая  полукруг имеет вид: y = Ö(R2–x2)   Пусть  S = pR2/2 — площадь полукруга, тогда

                 _{R                                                                      R}

y = (1/2S) òÖ(R²–x²)dx = (1/pR²) òÖ(R²–x²)dx =

                        ^{–R                                                                     –R}

                               _R

= (1/pR²)(R²x–x³/3)|= 4R/3p

                                                        ^–R

Ответ: M(0; 4R/3p ).

               

Пример 2:

Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой  эллипса x=acost, y=bsint, расположенной в I четверти, и осями координат.

Решение:

В I четверти при возрастании x от 0 до a величина t убывает от π/2 до 0, поэтому

 

Воспользовавшись формулой площади эллипса S=πab, получим

Ответ:

 

Путь, пройденный материальной точкой

Если материальная точка  движется прямолинейно со скоростью u=u(t) и за время T= t₂–t₁ (t₂>t₁) прошла путь S, то

                                                                                               _t2

S = ò u(t)dt.

                                                                                              ^t1

2. В геометрии

 

Объём — количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1дм, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле — объём тела.

 

Аксиомы объёма:

1. Объём — это неотрицательная величина.
2. Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих.

Найдем формулу для вычисления объёма:

1. выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела;
2. определим границы расположения тела относительно ОХ;
3. введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b]  поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ.
4. разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части. По аксиоме