Применение дифференциальных уравнений в естествознании

      На  основе этих соображений можно сформулировать основные предположения, на основе которых  будет основано составление уравнения  энергетического баланса, т. е. построена  математическая модель.

1. Зрелое растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие, т. е. у зрелого растения с ростом не меняются отношения геометрических размеров, например, отношение высоты к диаметру и т. п.

2. Свободную энергию (или активное вещество) дерево получает только путём фотосинтеза.
3. Свободная энергия расходуется на фотосинтез, на строительство живой ткани (рост) и на подъём раствора из почвы.
4. В среднем за большие отрезки времени растение получает постоянное количество света на единицу поверхности и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса.

      Составим  уравнение энергетического баланса.

      Обозначим за х – линейный размер растения., тогда высота растения – х, площадь поверхности листьев – х², объём растения будет выражаться величиной – х³, причём х изменяется со временем: х = х(t). При этом пусть х(t₀)=0. Попытаемся выразить все величины, входящие в уравнение энергетического баланса, через х.

      Найдём, сначала, выражение для поступающей  свободной энергии Е. Эта энергия образуется благодаря фотосинтезу в зелёной части растения, и её тем больше, чем больше поверхность зелёной части. Таким образом, можно считать, что Е пропорциональна х²:

      Е = α х²,

где α – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и формы листьев и от интенсивности фотосинтеза. Других источников энергии в силу наших предположений нет.

      Проследим, теперь, за расходом энергии. Прежде всего, энергия тратится на нужды самого процесса фотосинтеза. Этот расход также  пропорционален х², и мы можем записать его в виде β х², где β < α – некий коэффициент пропорциональности.

      Далее энергия расходуется на транспортировку  питательного раствора во все части  растения. Ясно, что этот расход будет  тем больше, чем больше путей транспортировки, т. е. чем больше объём растения. Кроме того, этот расход связан с преодолением силы тяжести и, следовательно, будет тем больше, чем на большую высоту приходится поднимать питательные вещества. Таким образом, этот расход пропорционален и х³, и х т .е. равен γ х³ х.

      Наконец, энергия расходуется на увеличение массы растения. Этот расход пропорционален скорости роста, т. е. производной массы m = ρх³ (ρ - средняя плотность растения, х³ - объём) по времени.

 Согласно закону сохранения энергии, расход энергии  должен быть равен её притоку: 

или 
 

      Это и есть искомое балансное соотношение.

      Разделим  обе части уравнения на 3δρх²  и обозначим

        

       Получаем: 

       Перепишем дифференциальное уравнение в виде 
 

       Тогда  
 

Заметим, что производная dx/dt > 0, так как рост дерева увеличивается.

      Значит, a - bx² > 0, и, следовательно, x²< a / b, т. е. можно воспользоваться методом непосредственного интегрирования (для│x│<│с│справедливо равенство:

        

       Тогда, имеем: 

      Учтём начальное условие х(t₀)=0, т. е. С = - t₀  и, значит:

        
 
 
 

      Разрешая  это уравнение относительно х, имеем окончательно:

        
 

Полученная формула (5) даёт кривую роста дерева. Если известны a, b и t₀ (эти величины зависят от породы дерева), то можно подсчитать средний рост дерева данной породы в зависимости от возраста. 

      Ответ. Зависимость роста дерева от времени его роста выражается формулой (5).

      Вид кривой (5) нетрудно исследовать. Найдём вторую производную

        
 

      

      Кривая (5) - выпуклая растущая кривая, а так  как 

        

то график кривой легко представить. 
 

Решение задач по химии. 

      Многие  процессы химической технологии описываются  дифференциальными уравнениями - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами.

       Это обусловлено  следующим. Сущность химических реакций  сводится к разрыву связей в исходных веществах и возникновению новых  связей в продуктах реакции. При этом общее число атомов каждого элемента до и после реакции остаётся постоянным. Изменение концентрации с одного из реагирующих веществ в единицу времени t при постоянном объёме называют скоростью химической реакции:  
 

      При этом безразлично, о каком из участвующих в реакции веществе идёт речь: все они связаны уравнением реакции, и по изменению концентрации одного из веществ можно судить о соответствующих изменениях всех остальных.

       С другой стороны, для осуществления химической реакции  между веществами А и В, протекающей по формуле 

необходимо  столкновение их молекул (частиц). Чем  больше столкновений, тем быстрее  протекает реакция. Число же столкновений тем больше, чем выше концентрация реагирующих веществ. Отсюда на основе обширного экспериментального материала сформулирован закон действующих масс: скорость химических реакций пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Этот закон выражается уравнением:

       

где с_Аi - концентрации веществ Аi где i = 1, . . ., n, k - коэффициент пропорциональности, называемый константой скорости реакции.

      Получили  зависимость скорости реакции от концентрации и от её производной. Такие  зависимости, согласно п 1.1. представленной работы,  и связываются дифференциальными  уравнениями.

      В химии часто различают реакции по общему числу молекул, входящих в левую часть химического уравнения, которое называется порядком химической реакции.

      Так, А → В - реакция первого, а А + В  → С + D - реакция второго порядка. 

      Задача№1. Вещество А превращается в вещество В. Определить первоначальное количество вещества А и время, когда останется половина этого вещества, если спустя 1 час после начала реакции осталось 44,8 г вещества А. А после 3 часов 11,2 г.

      Решение. Здесь имеет место реакция  первого порядка, n = 1. Обозначим через а - первоначальное количество вещества А, через х - количество вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции, тогда дифференциальное уравнение имеет вид:

        

      Разделяя  в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем:

 
 
 
 
 
 
 
 

Понятно, что при t = 0 x = 0, имеем С = а, и, значит:

Используя дополнительные условия (при  t = 1 x = а - 44,8, при t = 3 x = а - 11,2), имеем:

      а - 44,8 = а(1 - е^-k),

      а - 11,2 = а(1 - е^-k),

или 
 
 
 
 
 
 

      Найдём  искомое время распада половины этого вещества. Имеем:

 
 
 
 

Такой же результат можно было получить сразу после определения а = 89,6 (г), заметив, что 89,6 - 44,8 = 44,8 (г) - половина первоначального количества вещества, оставшаяся спустя 1 час после начала реакции (по условию). 

      Ответ. Первоначальное количество вещества А равно 86,9 г, время, когда останется половина этого вещества  -1 час.  

      Полученный  результат хорошо соотносится с  теорией радиоактивного распада, там, например, часто распад характеризуют  не постоянной k, а временем распада половины наличных атомов - периодом полураспада. Уравнение (1) не противоречит, открытому в 1905 году фон Швейдлером закону радиоактивного распада, по которому количество нераспавшихся атомов при естественно радиоактивном распаде экспоненциально уменьшается с течением времени. 

      Задача№2. В реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натрия первоначальные концентрации указанных веществ а = 0, 01 и в = 0, 002 соответственно. Спустя 23 минуты концентрация уксусноэтилового эфира уменьшилась на 10%. За какое время она уменьшится на 15%?

      Решение.

 

       Здесь имеет  место уравнение второго порядка, n = 1. Обозначим через а - первоначальное количество уксусноэтилового эфира, через b - первоначальное количество гидроксида натрия, через х - количество и одного, и другого вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции (x < a, x < b), тогда дифференциальное уравнение имеет вид: 

       Разделяя в  уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем: 
 
 
 
 
 
 
 

Понятно, что  при t = 0 x = 0, имеем  

и, значит: 
 
 
 

       Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при t = 23 мин х = 0, 01∙ 0, 1 = 0, 001. Имеем:  
 
 
 

      Найдём  искомое время. Имеем:

        
 
 
 

      Ответ. Концентрация уксусноэтилового эфира уменьшится на 15% за 47, 9 минут.

      Аналогично  рассматриваются и реакции более  высоких порядков.

Заключение.

      Изучение  большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости.

      Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

      Такие уравнения называются дифференциальными.

      Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач  по дисциплинам естественно –  научного цикла довольно широки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы. 

1. Баврин  И. И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов хим.-биол. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1980.