Применение дифференциальных уравнений в естествознании

и потому

Теперь  уже не трудно найти время опорожнения  сосуда, т.е. найти такое значение t, при котором h = 0:

 
 
 
 

      Заметим, что хотя последнее значение t примерно в 1,82 раз больше значения 3·t₁, которое получилось в предположении, что жидкость вытекает равномерно, оно не является безукоризненно точным, так как мы пренебрегли, например, явлениями капиллярности (существенными при малом диаметре отверстия), завихрениями жидкости, пограничным слоем жидкости и многими иными факторами.

      Исследуем полученное решение.

       Подставим в  равенство (4) значение

        
 

найдём t₁ и получим, что: 

           Ясно, что, чем больше значения  R и H (размеры сосуда), тем дольше будет вытекать из него жидкость, как это и следует из полученного ответа. Чем больше площадь отверстия S, тем быстрее вытечет жидкость из сосуда. В том же направлении действует и увеличение ускорения q, а так же коэффициента k (чем больше k, тем больше скорость истечения жидкости в формуле Бернулли).

 Таким образом, формула выдержала "испытание на здравый смысл", что в совокупности с испытанием на размерность:  подтверждает, что задача решена верно. 

      Ответ. Вся вода вытечет через отверстие за промежуток времени

        
 

       Во многих случаях составление дифференциальных уравнений по условию задачи облегчается тем, что соответствующий закон физики связывает между собой значение некоторой величины и скорости её изменения, либо связывает друг с другом значения величины, скорости её изменения и ускорения.

       Задача №2.   В замкнутую электрическую цепь (рис.2) последовательно включены источник тока с ЭДС Е(t), меняющейся с течением времени, активное сопротивление R и катушка с индуктивностью L. Как изменяется сила тока с течением времени, если в начальный момент (при t = 0) она равнялась нулю? 

      Решение. Из курса физики известно, что E(t) = Uакт + Uкат, где Uакт - напряжение на активном участке цепи, выражаемое по закону Ома: Uакт = IR, а Uкат - пропорционально скорости изменения силы тока с коэффициентом пропорциональности L: Uкат = LI΄.

      Имеет место равенство:

       LI΄ + RI = E(t).

      Разделим  обе части уравнения (5)на L:  I΄ + (R/L)I = E(t)/ L.

      Мы  получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка для  силы тока с начальным условием I(0) = 0.

       Общим решением такого уравнения, согласно п. 1.2.3. является:

        

      Разберём  два случая:

1. ЭДС - постоянная величина, Е(t) = Е₀. В этом случае из уравнения (6):

 

В силу начального условия I(0) = 0, т. е. 0 = E₀ (1 + C)/R, откуда получим:

C = -1 и потому:

 

Отмечаем, что  при t → + ∞ получаем, что I → E₀ /R, т. е. после включения постоянной ЭДС значение возрастает от нуля до значения E₀/R, даваемого законом Ома  (рис. 3). 
 

2. ЭДС периодически изменяется по синусоидальному закону:

E = E₀ sin ωt.

       В этом случае из уравнения (6) имеем: 

      Из  начального условия I(0) = 0 находим, что

 

 С течением времени  при t → + ∞ второе слагаемое стремится к нулю, т. е.

Если положить: 

то  это равенство  можно записать в виде:

Ответ. Колебания силы тока - предел синусоидальных синусоидальные колебаний ЭДС (со сдвигом фазы).

 

      В природе и технике очень широко распространены процессы, в которых  какая – либо характеристика последовательно  отклоняется то в одну, то в другую сторону от своего определённого  значения – колебательные процессы. Описать колебательный процесс – это значит выбрать характерный параметр процесса, зависящий от времени, и составить уравнение колебаний, которому он подчиняется. Широкое применение при изучении различных колебательных явлений находят линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Задача  №3. На вертикальной пружине закреплён груз массой m (рис.4). Груз выводят из положения равновесия в вертикальном направлении и потом отпускают. Найти закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. 

      Решение. Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза, которую и примем за начало координат.

      Составим  дифференциальное уравнение, опираясь на II закон Ньютона:

                                                  F = ma                                                                (8)

Здесь m – масса груза, а – ускорение движения, F – результирующая всех сил, приложенных к телу.

      В положении равновесия сила тяжести, проекция которой на ось Ох равна mq, уравнивается упругой силой пружины, которая согласно закону Гука пропорциональна удлинению пружины:

                                                           mq =ω* λ                                                         (9)

(здесь ω* - коэффициент жёсткости пружины).

      Обозначим через x(t) отклонение груза от положения равновесия. В момент времени t на тело будут действовать две силы: сила тяжести mq, тянущая груз вниз, и упругая сила пружины, равная ω*( λ + х) и направленная вверх.

      Результирующая  сила будет равна:

F = mq — ω*( λ + х),

или в силу (9):

F = — ω* х.

      На  основании закона Ньютона (8) получаем:

                                                     mа = — ω* х.                                             (10)

В случае прямолинейного движения вдоль оси Ох ускорение равно x″(t). Равенство (10) можно записать в виде m x″ = — ω* х, откуда

                                                         x″ + ω² х = 0,                                             (11)

где ω²= ω*/m > 0.

      Получили  дифференциальное уравнение движения тела – линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решения которых рассмотрены в п.1.3.4.

      Корнями его характеристического уравнения  r² + ω² = 0 являются комплексные числа r_1,2 = ± ωi, поэтому общее решение уравнения (11) имеет вид:

x= C₁ cos ωt + C₂ sin ωt.

Для выяснения  физического смысла полученного  решения преобразуем его:

Положим

Тогда общее  решение уравнения запишется  так:

x= А(sin α cos ωt + cos α sin ωt),

или                                          

        x= А sin (ωt + α),                                              (12)

где А и α – новые произвольные постоянные.

      Величина  А называется амплитудой колебания, аргумент ωt + α – фазой колебания, его значение α при t = 0 – начальной фазой, ω – частотой колебания.

      Пусть в начальный момент времени  t = 0 отклонение груза от положения равновесия равно x₀, а скорость движения x₀΄, т.е. x(0) = x₀, x΄(0) = x₀΄. По этим начальным условиям можно найти амплитуду и начальную фазу.

       В силу условий  при t = 0, учитывая равенство x΄(t) = Аω cos (ωt + α), получаем: А(sin α) = x₀,  Аω cos α = x₀΄, откуда

       Подставив найденные  значения А и α в (12), получим:

      Формула (12**) выражает закон движения груза. Из неё видно, что груз совершает  гармонические колебания около  положения равновесия.

       Частота и  период колебания соответственно равны:

      Как видно, частота и период колебания  зависят только от жёсткости пружины и массы груза, т. е. определяются свойствами самой системы.

      Амплитуда же колебаний и начальная фаза зависят также от начальных условий  x₀, x₀΄ (см. 12*).

      Ответ. Движение груза на вертикальной пружине - гармонические колебания около положения равновесия.

Решение геометрических задач.

      При решении геометрических задач с  помощью дифференциальных уравнений  рекомендуется следующая последовательность действий:

• сделать чертёж и ввести обозначения;
• отделить условия. Имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках;
• выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной;
• по условию задачи составить дифференциальное уравнение;
• найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.

Задача№1. Определить поверхность, по которой необходимо отшлифовать зеркало прожектора, чтобы все лучи, выходящие из источника света, помещённого в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси (рис.5). 

      Решение. Возьмём меридианное сечение поверхности вращения. Выберем начало координат в точке 0, ось абсцисс направим по оси вращения и обозначим угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к искомой кривой, проведённой в точке M(x; y), через α. Тогда по условию задачи имеем: ∟SMT  = α. Но ∟OMN = ∟TMN (угол падения равен углу отражения), поэтому ∟OMA = ∟SMT = α. Таким образом, треугольник OAM - равнобедренный и │ОА│=│ОМ│.

      Из  чертежа видно, что │АО│=│АР│-│ОР│=у сtg α - x. Поскольку сtg α = 1/ tg α = 1/y′, то │АО│=│АР│-│ОР│= у /y′ - x.

      С другой стороны,

      

Получаем  дифференциальное уравнение:

      Запишем его в форме:

Получили  однородное дифференциальное уравнение. После подстановки x = yu, dx = udy + ydu, получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Преобразования дают:

 
 

      Интегрируя, находим:

 

Запишем полученное уравнение в виде:

Получаем  у ² - 2Сх = С ², или, приводя к каноническому виду (у² = 2рх):