Ответы по теории вероятности

,

и, аналогично,

, .

Производные f_xx'',f_xy'',f_yx'' и f_yy'' называются частными производными второго порядка. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , . 

16. Определение градиента  функции нескольких  переменных. Производная  по направлению.

Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

Как видно из объяснения, градиент является векторной  функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной.

Формально, для  случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с  компонентами , , , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z.

Если  — функция n переменных , то её градиентом будет n-мерный вектор

,компоненты которого равны частным  производным по всем её аргументам.

Градиент обозначается gradφ или, с использованием оператора  набла, .

Из определения  градиента следует, что:

Смысл градиента  любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, т.е. линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на dx. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать: 

Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может  быть вполне правильно и инвариантно  записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна  знак суммы,

(в ортонормированном  базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции  одной переменной показывает, как  изменяется её значение при малом  изменении аргумента. Именно это  соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию  от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого  выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора  .

Если направление  сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает  с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

, где  — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора . 

17. Определение экстремума  функции многих  переменных

Необходимое условие  локального экстремума дифференцируемой функции      

Если  - точка экстремума функции f, то и или

Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции      

Обозначим      

Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.     

Если D > 0, A < 0, то - точка максимума. 

    Если D < 0, экстемума в точке нет.     

Если D = 0, необходимы дополнительные исследования. 

18. Необходимое и  достаточное условие  экстремума функции  многих переменных

О: Точка называется точкой максимума (минимума)

функции (х, у), если

Максимумы и минимумы функции  называются ее экстремумами (рис.):

 

: (необходимое  условие экстремума)

Если функция  г = (х,у) имеет экстремум в т. то

или обращаются в нуль, или не существуют

Пусть у = тогда — функция одной переменной. Так как при х = она имеет экстремум, то

Доказательство  при х = аналогично Эти условия не являются достаточными.

Приведем достаточные  условия экстремума для стационарных т. в которых

Т: (достаточные  условия экстремума) Пусть в некоторой  области, содержащей т. функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и эта точка является стационарной.

Пусть функция  определена в некоторой области G и точка .

Функция имеет в точке максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Аналогично определяется минимум функции.

Максимум и  минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если –точка экстремума функции , то частные производные и в этой точке равны нулю или не существуют.

Точки, в которых  частные производные и обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Сформулированный  признак не является достаточным: не обязательно критическая точка  является точкой экстремума.

Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума).

Пусть в некоторой области, содержащей точку  , функция имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и . Обозначим: . Тогда

1)если , то функция имеет экстремум в точке , причем это максимум, если и минимум, если ;

2)если , то экстремума в точке нет;

3)если  , требуется дополнительное исследование (экстремум в точке может быть или не быть). 

19.Скалярные  и векторные поля

Пусть в пространстве Oxyz имеется область D, в которой задана функция . В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а функцию называют функцией поля.

Рассмотрим точки  области D, в которых функция поля имеет постоянное значение C: . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность, которая называется поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью. Уравнение – уравнение поверхности уровня. При различных значениях C получим семейство поверхностей уровня.

Наряду со скалярными полями в пространстве рассматривают также плоские скалярные поля. Функция плоского скалярного поля имеет вид . Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня (например, изотермы на картах синоптиков).

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля .

Рассмотрим точку  этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат (рис.18). Пусть – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность .

Производной функции  в точке P по направлению (обозначают ) называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при : .

Векторное поле-Пусть X — заданное многообразие, T — касательное расслоение, то есть отображение, которое каждой точке X сопоставляет касательное пространство в данной точке T | _X, тогда сечение касательного расслоения является векторным полем.Таким образом, векторное поле — это отображение, которое ставит каждой точке многообразия в соответствие вектор из касательного пространства в данной точке.

Частные случаи векторных полей:

1)Векторные  поля на прямой

Любую вещественнозначную функцию вещественного переменного можно интерпретировать как одномерное векторное поле.

2) Дивергенция векторного поля — след такого тензора производных. Она не зависит от системы координат (является инвариантом преобразований координат, скаляром), а в прямоугольных декартовых координатах вычисляется по формуле:

Это же выражение  можно записать с использованием символического оператора набла

3) Ротор — векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:

,

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Для удобства запоминания  можно условно представлять ротор  как векторное произведение:

4) Градиент — важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля. Полученное применением такой операции к скалярному полю f векторное поле называется градиентом f:

или, записывая  с помощью наблы:

20.Повернхность и линии уровня скалярного поля наз геометрич место точек, в кот функ U(M) прин-ет постоянное знач, т.е. U(x;y;z)=c. Для скалярного поля, образ-го функ U=√1-х²-y²-z², поверхностями уровня явл мно=во концентрических сфер с центрами в нач корд. √1-х²-y²-z²=с. В частности, при с=1 получ х²+y²+z²=0, т.е. сфера стягивает точку. Вслуч плоского поля U=U(x;y) рав-во U(x;y)=c  пред-ет собой уравн-е линии уровня поля, т.е. л.у – это линия на плоскости О_xy , в точках т функ U(x;y) сохраняет постоянное знач.

21.производная  по направлению  Производной от функ U=U(M) в т М по направл ۸^→ наз предел əU/ə۸=lim_Δ۸→0 ΔU/Δ۸=lim_M1→M U(M1)-U(M)/|MM1| производ по направл ۸^→ и харак скорость изменения функ (поля) в т М по этому направл. Если əU/ə۸>0, то функ U возраст в направл ۸^→ , если əU/ə۸<0, то функ U в напрвл ۸^→  убыв. Величина |əU/ə۸| пред-ет собой мгновнную скорость изм функ U в напрвл ۸^→ в т М: чем больше |əU/ə۸|, тем быстрее изм-ся функ U. В этом сост физ смысл производной по направл. əU/ə۸= əU/əх cosa+ əU/əy cos бета+ əU/əzcosν- для вычисл производной по направл. при Δ۸→0. понятие произв по направл явл обобщением понятия частных произв əU/əх, əU/əy, əU/əz. Их можно расматр как производные от функ u п направл координатных осей Ох,Оу,Оz. Так, если направл ۸^→совпадает с полож нарпал оси Ох, то, положив в форм. əU/ə۸= əU/əх cosa+ əU/əy cos бета+ əU/əzcosν, a=0, бета=п/2, ν=п/2, получ əU/ə۸/ əU/əх.

22. Градиент скалярного поля. Вектор, корд кот  явл знач функ U(x;y;z)в т М(x;y;z), наз градиентом функ и обознач gradU, т.е. gradU=(əU/əх;əU/əy;əU/əz), или gradU=əU/əхi+əU/əyj+əU/əzk), əU/ə۸= |gradU|cosφ,φ – угол м/у вектором gradU и направл ۸^→. Из формулы сразу следует, что производная по направл достигает наиб знач,когда cosφ=1,т.е при φ=0. т.о.,направл градиента совпадает с направл ۸^→, вдоль кот функ(поле) меняется быстрее всего,т.е. градиент функ указ-ет направл наибысрейшего возрастания функ.Наиб скорость изм-я функ U в т М равна |gradU|=√(əU/əх)²+(əU/əy)²+(əU/əz)², в этом сост физ смысл градиента. На указанном св-ве градиента основано его широкое применение в мат-ке а др дисциплинах.

23. Дивергенция векторного поля. в т М  нз-ся предел отношения потока поля ч/з (замкнутую) поверхность S, окруж точку М,  объему тела, огранич этой поверх, при усл, что вся поверх стягивается в т М(V→0). Определение div a^→(M)=lim_v→01/V∫∫a_nds дивергенции эквивалентно опред div a^→(M)=əP/əx+əQ/əy+əR/əz. дивергенция в.п в т явл скалярной велич.она образ скалярное поле в данном векторном поле.Вектор поле,в кажд т кот дивергенция поля равна 0,т.е. div a^→(M)≡0, наз соленоидальным (или трубчатым).