Ответы по теории вероятности

1.Числовые  ряды. Сходимость  и сумма ряда. Необходимое  условие сходимости.

Числовым рядом  называется выражение вида: U1+U2+U3+…+Un, где Un – некоторые числа. Обозначается:

Элемент последовательности Un называют n-м членом ряда. Сумма

первых n членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует и конечен  предел последовательности

его частичных  сумм (lim Sn=S - этот предел называется суммой ряда).

Если предел последовательности частичных сумм не существует или бесконечен,

то ряд называется расходящимся.

Необходимое условие сходимости: Для сходимости ряда  необходимо, чтобы последовательность Un была бесконечно малой.

2. Достаточные признаки  сходимости рядов:  признаки Даламбера, Коши.

Определение: ряд  называется знакоположительным, если Un>0, при любом n.

Для знакопололожительных рядов сформированы достаточные  признаки сходимости:

1) Признак Даламбера:  Пусть задан ряд  , Un>0 и lim (Un+1)/Un=L, тогда при L>1 – ряд расходится, при L<1 – ряд сходится, при L=1 – сомнительный случай.

Признак Даламбера  обучно используется для рядов, общий  член которых содержит n!

2) Признак Коши: Пусть задан ряд  , Un>0 и lim =L, тогда при L>1 – ряд расходится, при L<1 – ряд сходится, при L=1 – сомнительный случай.

3. Достаточные признаки  сходимости рядов:  признак Даламбера,  интегральный признак Коши. Признаки сравнения.

Признак Даламбера

Пусть задан  ряд  , u_n>0, 

,

Тогда ряд:

при l>1 – расходится;

при l<1 – сходится;

при l=0 – сомнительный случай.

Приз√нак Даламбера  обычно используется для рядов в  которых содержится n!.

Интегральный  признак:

Пусть задан  ряд  , u_n>0. Если его члены могут быть заданы, как числовые значения некоторой непрерывной монотонной убывающей функции f(x), [1;+∞), так, что f(1)=u₁, f(2)=u₂, .. ,f(n)=u_n, тогда этот ряд сходится, если сходится несобственный интеграл, и расходится, если расходится этот несобственный интеграл (ряд и несобственный интеграл ∫f(x)dx сходятся или расходятся одновременно). 

Признаки  сравнения рядов

Первый  признак сравнения:

Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если  сходится, то также сходится;

 Если  расходится, то также расходится.

Второй  признак сравнения:

Пусть даны два  ряда и , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n, и существует предел , то оба ряда сходятся сходятся, или расходятся одновременно.

4. Достаточные признаки  сходимости рядов:  признаки сравнения.

Достаточный признак сходимости: Пусть задан знакоположительный ряд , если сходится ряд составленный из абсолютных величин (модулей) исходного ряда, то исходный ряд тоже сходится. Обратное верно не всегда. Ряд, составленный из модулей, может сходиться, при этом исходный – расходиться.

5. Знакочередующиеся  ряды: признак Лейбница.

Ряд вида U₁- U₂+U₃ + (-1)ⁿ⁺¹U_n= , где U_n ≥ 0, при любых n наз-ся знакочеред.

Теорема Лейбница: Если для знакочеред ряда вып-ся условия:

1) U₁ >U₂ >U₃ >…>U_n>U_n+1

2) , то этот ряд сходится и его сумма S удовл. усл. 0<S<U  

6. Знакочередующиеся  ряды: абсолютная  и условная сходимость. Примеры. Абсолютная и условная сходимость Ряд  называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.  
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

 Пример: Исследовать на сходимость ряд  . Решение. Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем  поскольку sin²n≤1. Следовательно, данный ряд сходится.  

7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Степенным рядом  называется ряд вида c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ...,(1) где c0, c1, c2, ... - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Про ряд (1) говорят, что он расположен по степеням x.

Т.Абеля: Если сходится в т.х=х₀≠0, то он сходится для всех х удовлетвор неравенство. Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

Для каждого  степенного ряда существует такое положительное  число R, что при всех х таких, что  ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости. Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по формуле

8. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Если функция  f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:  где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

 Если приведенное разложение  сходится в некотором интервале  x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.  Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена: 

Разложение  элементарных функций  в ряд Маклорена:

1) вычислить  f ‘ (x), f “ (x)… f ⁿ(x); 2) вычислить эти производные в точке х=0; 3) записать ряд.

9. Применение рядов к приближенным вычислениям. Примеры.

1) Приближенное вычисление функций. Пусть требуется вычислить приближенное значение функции F(x) в точке х=х₁ с заданной точностью ξ. Если функцию f (x) на (-R;R) можно разложить в степенной ряд: а₀+а_хх²…, а точка х₁ Є (-R;R), то значение функции f(x₁)=S(x₁)=a₀+a₁x₁+ a₂x₁²+ a₃x₁³+…, а приближенное значение функции равно частичной сумме этого ряда: f(x₁)≈Sn(x₁). Точность этого равенства тем больше, чем больше n. Абсолютная погрешность этого равенства равна модулю остатка ряда, Таким образом, оценить погрешность можно, оценив остаток ряда. Для рядов Лейбницевского типа остаток: │r_n(x₁) │=│U_n+1(x₁)- U_n+2(x₁)+U_n+3(x₁)-… │≤│ U_n+1(x₁)│ Для закономерных или знакоположительных рядов для оценки погрешности составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются подобрать положительный ряд с большими членами (обычно, сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко суммируется. И в качестве оценки ряда берут величину остатка этого ряда.

Пример: sin1=1-1³/3!+1⁵/5!-1⁷/7!+…(-1)ⁿ 1/(2n+1)!+…

1/3!=1/6=0,167>0,001

1/5!=1/120=0,008>0,001

1/7!=1/5040=0,0002<0,001

Sin1≈1-1/6+1/120=1-0,167+0,008=0,841

2) Приближенное вычисление  определенных интегралов. Пусть требуется вычислить приближенное значение в точке х=х₁ с заданной точностью ξ. Если подынтегральную функцию можно разложить по степеням х, а [a;b]  Є (-R;R), то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Погрешность вычислений оценивается так же, как и при вычислении приближенного значения функции.

10 Определение функции многих переменных. Область определения функции многих переменных. Определение: Если каждой паре 2-х независимых друг от друга значений переменных х и y из некоторой области их изменения (Д), ставится в соответствие определенное значение z, то мы говорим, что задана функция 2-х переменных x и y в области Д. z=f(x;y)

x, y – независимые переменные (аргументы)

z – зависимая переменная (функция)

Область Д называется областью определения функции. Областью определения может быть как вся  числовая область, так и ограниченная линией.

Все значения z называются областью значения функции или областью изменения функции.

11 Определение предела функции нескольких переменных, свойства пределов. Определение: число А называется  пределом функции z при x -> x₀ ,  y -> y₀ (M->M₀). Если для любого ξ > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех точек М (x;y) из δ-окрестности т.М₀(x₀;y₀) выполняется: │f(x;y)-A│ < ξ Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому т.М->M₀ (таких путей бесконечное множество).

Свойства:

Предел  суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует.

Предел  разности равен разности пределов, если каждый из них существует

Предел  постоянной величины равен самой постоянной величине

Постоянный  коэффициэнт можно выносить за знак предела

Предел  произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует

Предел  частного  равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль

12 Определение приращения и частной производной функции нескольких переменных.

Разность   называется полным приращением функции в точке (x,y) и определяет величину, на которую изменится значение функции z= f(x,y) при одновременном изменении двух аргументов х и y.Однако, если изменяется только один из аргументов (х или y), а значение другого остается постоянным, то соответствующие величины изменения функции называются частными приращениями и обозначаются как:   и .Отметим, что в общем случае:  и .  

Частной производной функции z=f(x,y) по аргументу x называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента Dx, когда DxÞ0.

,  аналогично и по переменной y  ,  кроме того, частные производные могут обозначаться как:

. При вычислении частных производных  по одной из переменных вторая  переменная считается постоянной.

13.  Дифференцирование сложных функций z=f(x,y), где х=(u,v), у=(u,v).

Переменная z называется сложной функцией от независимых  переменных х,у, t ,… если она задана посредством промежуточных аргументов u,v,…, где u = f(x ,y,t …), v = g ( x , y , t …) и.т.д. Если для функции двух переменных z=f(x,y) обе переменные х и у зависят от некоторой третьей переменной t:х=j(t),у=c(t), то z зависит также только от t и можно вычислить производную причем справедлива теорема: Теорема. Если функции x=x( t ) и  =y( t ) дифференцируемы в точке t , а функция z=f( x , y ) дифференцируема в точке М( x ( t ), y ( t )), то сложная функция z=f ( x ( t ), y ( t )) также дифференцируема в точке t : Из этой формулы можно вывести и формулы дифференцирования для других форм задания сложных функций. Для функции двух переменных z =f(x,y ) в случае, когда х=х(u ,v), у=у( u , v ), производные сложной функции z=f(х( u , v ),у( u , v )), по переменным u и v считаются по формулам:

Если z = f(x,y) и  у=у(х), то можно вычислять полную производную функции z по переменной х:

14 Применение дифференциала функции нескольких переменных к приближённым вычислениям.

Из определения  дифференциала функции z=ƒ (х; у) следует, что при достаточно малых |Δх| и |Δу| имеет место приближенное равенство 

Так как полное приращение Δz=ƒ(х+Δх;у+Δу)-ƒ(х;у), равенство  можно переписать в следующем  виде:  

15.Частные  производные высших  порядков.

Пусть задана функция  f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или f_xx'', а через или f_xy''. Таким образом,