Ответы по прикладной математике

Интервальные оценки числовых характеристик. Доверительный интервал. Основные определения.

Интервальной  называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительный интервал – это  интервал, который с заданной надежностью гамма покрывает заданный параметр. 1. Интервальной оценкой с надежностью гамма мат. ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней Хв при известном среднем квадратическом отклонении сигма генеральной совокупности служит доверительный интервал: Хв – t(сигма/корень из n)<a<Хв+t(сигма/корень из n), где t(сигма/корень из n)=дельта – точность оценки, n – объем выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)=гамма/2; при неизвестном сигма (и объеме выборки n<30) Хв – t гамма (s/корень из n)<a<Хв+t гамма (s/корень из n), где s-исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. 2. Интервальной оценкой (с надежностью гамма) среднего квадратического отклонения сигма нормально распределенного количественного признака Х по “исправленному” выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал s(1-q)<сигма<s(1+q), при q<1; 0<сигма<s(1+q), при q>1. 3. Интервальной оценкой ( с надежностью гамма) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал ( с приближенными концами р1 и р2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Марковские  случайные процессы. Размеченный граф состояний.

Предположим, что  дана система S. Предп., что состояние этой сис-мы хар-ся параметрами состояний. Если состояние системы меняется во времени случайно, то говорят, что в сис-ме протекает случайный процесс. Сис-ма —аудитория. Для хар-ки состояния используется параметр—число студентов, тогда эта система с дискретными состояниями. Будем рассматривать системы с дискретными состояниями и непрерывным t: сис-ма мгновенно в произвольные сегменты t скачками меняет состояние. Если параметр t принимает дискретные значения (t=1,2,3,...), то происходит процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если же t изменяется на некотором интервале, то процесс с непрерывным временем. Если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывное, то с непрерывными значениями. Предположим, что рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным t. Пусть S1, S2,...,Sn —возможные состояния сис-мы. Для описания процесса, происх. в сис-ме, надо знать вер-ти каждого состояния на произвольный момент t. Р1(t)—вер-ть того, что в момент t сис-ма находится в 1-ом состоянии. Процесс, протекающий в системе, наз. марковским, если для него вероятность попасть в состояние Xi=Si в момент ti зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния Xi-1=Si, в котором процесс был в предыдущий момент времени ti-1. Графом называется совокупность вершин и дуг, соединяющих эти вершины. Для описания процесса, протекающего в системе, удобно использовать размеченный граф состояний, в котором в кач-ве вершин исп-ся различные состояния системы, а в кач-ве дуг—стрелки, показ. возможные переходы за 1 шаг из состояния в состояние. При этом над каждой стрелкой указ. Плотность вероятности соответствующего перехода. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Потоки  событий. Простейший поток и его  свойства.

Потоком событий  называется последовательность каких-то однородных событий, следующих друг за другом через случайные интервалы  времени, т.е. в произвольные моменты  времени.

Потоки избираются на числовой оси, представляющей ось времени, точками, соответствующими моменту наступления событий.

Например: - поток  вызовов, поступающих на станцию  скорой помощи;

- поток автомобилей,  пересекающих перекресток.

Среднее число  событий, происходящих в единицу  времени называется интенсивностью потока. l - среднее число событий в потоке, происходящее за единицу времени. Свойства потока:

Поток называется стационарным, если вероятность наступления  того или иного числа событий  за интервал времени длины а зависит  от длины этого интервала и не зависит от того, в какой момент времени начинается отсчет этого интервала.

t2 – t1 = a

Поток событий  называется потоком без последействия (без последствия), если для любых  непересекающихся интервалов времени  длины t 1 и t 2.

Вероятность появления того или иного числа событий в интервале t 2 не зависит от того, какое число событий произошло в интервале t 1.

Иначе, отсутствие последствия означает независимость  наступления событий во времени.

3. Поток называется  ординарным, если вероятность наступления двух и более событий за некоторый достаточно малый интервал времени  
t пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события за этот интервал.

Поток, обладающий всеми тремя перечисленными свойствами называется простейшим.