Особенности обучения математике во вспомогательной школе

1. Виды письменной нумерации. Цифра. Системы счета.

2. Контроль качества знаний, умений и навыков учеников на уроках математики во вспомогательной школе

3. Особенности ознакомления с геометрическим материалом отсталых учеников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Виды письменной нумерации. Цифра. Системы счета.

 

Целью всякой нумерации является изображение любого натурального числа  с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно  было бы достичь с помощью одного знака — 1 (единицы). Каждое натуральное  число тогда записывалось бы повторением  символа единицы столько раз, сколько в этом числе вмещается  единиц. Сложение сводилось бы к  простому приписыванию единиц, а вычитание  — к вычеркиванию (вытиранию) их. Идея, которая лежит в основе такой  системы, проста, однако эта система  очень неудобна. Для записи больших  чисел она практически непригодна, и ею пользуются только народы, счет которых не выходит за пределы  одного-двух десятков.

С развитием человеческого  общества увеличиваются знания людей и все значительнее становится потребность в счете и записи результатов счета довольно больших множеств, в измерении больших величин.

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр; каждую вещь, каждое действие изображали рисунком. Это были реальные рисунки, которые отображали то или другое количество. Постепенно они упрощались, становились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел  иероглифами. Иероглифы древних  египтян свидетельствуют о том, что искусство счета было развито  у них достаточно высоко, с помощью  иероглифов изображались большие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к  более удобной записи, которая  позволяла бы обозначать числа специальными, более удобными знаками (цифрами). Происхождение  цифр у каждого народа различное.

Первые цифры встречаются  более чем за 2 тыс. лет до н. э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками  на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки размещались и горизонтально и вертикально, в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные — так называемые «десятки» — единицы второго разряда. Алфавитная система нумерации впервые была применена в Греции. Самую древнюю запись, сделанную по этой системе, относят к середине V в. до н. э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными символами с помощью соответствующих букв алфавита. В греческой и славянской нумерациях над буквами, которые обозначали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло» (~). Например, а, б, в и т. д. Все числа от 1 до 999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробы записать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям, которые можно рассматривать как зародыши позиционной системы. Так, для обозначения единиц тысяч использовались те же буквы, что и для единиц, но с черточкой слева внизу.

Следы алфавитной системы  сохранились до нашего времени. Так, мы часто обозначаем буквами пункты докладов, резолюций и т. д. Однако алфавитный способ нумерации также  сохранился у нас только для обозначения  порядковых числительных. Количественные числа мы никогда не обозначаем буквами, тем более никогда не оперируем с числами, записанными в алфавитной системе.

Старинная русская нумерация  также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в.

Сейчас существует индийская  система записи чисел. Завезена она  в Европу арабами, поэтому и получила название арабской нумерации. Арабская нумерация распространилась по всему  миру, вытеснив все другие записи чисел. В этой нумерации для записи чисел  используется 10 знаков, которые называются цифрами. Девять из них обозначают числа  от 1 до 9. Десятый знак — нуль (0) —  означает отсутствие определенного  разряда чисел. С помощью этих десяти знаков можно записать какие угодно большие числа. До XVIII в. на Руси письменные знаки, кроме нуля, назывались знамениями.

Итак, у народов разных стран была различная письменная нумерация: иероглифическая — у  египтян; клинописная — у вавилонян; геродианова — у древних греков, финикийцев; алфавитная — у греков и славян; римская — в странах Западной Европы; арабская — на Ближнем Востоке. Следует сказать, что теперь почти везде используется арабская нумерация. Анализируя системы записи чисел (нумерации), которые имели место в истории культур разных народов, можно сделать вывод о том, что все письменные системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

К непозиционным системам счисления относятся: иероглифическая, алфавитная, римская и некоторые  другие системы. Непозиционная система  счисления — это такая система  записи чисел, когда содержание каждого  символа не зависит от места, на котором  он написан. Эти символы являются как бы узловыми числами, а алгорифмические числа комбинируются из этих символов. Например, число 33 в непозиционной, римской нумерации записывается так: XXXIII. Здесь знаки X (десять) и I (единица) используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую величину: X — десять единиц, I — единицу, независимо от места, на котором эти знаки стоят в ряду других.

В отличие от первой в  позиционных системах каждый знак имеет  разное значение в зависимости от того, на каком месте в записи числа он стоит. Например, в числе 222 цифра 2 повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы, вторая — два десятка, а третья — две сотни. В этом случае мы имеем в виду десятичную систему  счисления. Наряду с десятичной системой счисления в истории развития математики имели место двоичная, пятеричная, двенадцатеричная и др.

Позиционные системы счисления  удобны тем, что они дают возможность  записывать большие числа с помощью  сравнительно небольшого количества знаков. Важным преимуществом позиционных  систем является простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Появление позиционных систем обозначения чисел было одной  из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло  не случайно. Его следует рассматривать  как закономерную ступень в культурном развитии народов. Подтверждением этого  является самостоятельное возникновение  позиционных систем у разных народов: у вавилонян — более чем  за 2 тыс. лет до н. э.; у племен майя (Центральная Америка) — в начале новой эры; у индусов — в IV—VI вв. н. э. Происхождением позиционного принципа прежде всего следует пояснить появление мультипликативной формы записи. Мультипликативная запись — это запись с помощью умножения. Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число 154 можно записать: 1 х 102 + 5 х 10 + 4. Как видим, в этой записи отображается тот факт, что при счете некоторые количества единиц первого разряда, в данном случае десять единиц, берут за одну единицу следующего разряда, определенное количество единиц второго разряда берется, в свою очередь, за единицу третьего разряда и т. д. Это позволяет для изображения количества единиц разных разрядов использовать одни и те же числовые символы. Эта же запись возможна при счете любых элементов конечных множеств.

В пятеричной системе счет осуществляется «пятками», т. е. по пять. Так, африканские негры считают  на камушках или орехах и складывают их в кучи по пять предметов в  каждой. Пять таких куч они объединяют в новую кучку и т. д. При  этом сначала пересчитывают камушки, потом кучки, потом большие кучи. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами следует производить те же самые  операции, что и с отдельными камешками.

Технику счета по этой системе  иллюстрирует наш путешественник Миклухо-Маклай. Так, характеризуя процесс пересчитывания товара туземцами Новой Гвинеи, он пишет. Чтобы посчитать количество полосок бумаги, которые обозначали число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы делали следующее: первый, раскладывая полоски бумаги на коленях, при каждом откладывании повторял «каре» (один), «каре» и так до десяти, второй повторял это же слово, но при этом загибал пальцы сначала на одной, потом на другой руке. Досчитав до десяти и загнув пальцы обеих рук, папуас опускал оба кулака на колени, проговаривая «ибен каре» — две руки. Третий папуас при этом загибал один палец на руке. С другим десятком было выполнено то же самое, причем третий папуас загибал второй палец, а для третьего десятка — третий палец и т. д. Подобный счет имел место и у других народов. Для такого счета было необходимо не менее трех человек. Один считал единицы, другой — десятки, третий — сотни. Если же заменить пальцы тех, кто считал, камушками, помещенными в разные выемки глиняной доски или нанизанными на прутики, то получился бы самый простой счетный прибор. Со временем названия разрядов на письме начали пропускать. Однако для завершения позиционной системы не доставало последнего шага — введения нуля. При сравнительно небольшой основе счета, какой было число 10, и оперировании сравнительно большими числами, особенно после того, как названия разрядных единиц начали пропускать, введение нуля стало просто необходимым. Символ нуля сначала мог быть изображением пустого жетона абака или видоизмененной простой точки, которую могли поставить на месте пропущенного разряда. Так или иначе, однако введение нуля было совершенно неизбежным этапом закономерного процесса развития, который и привел к созданию современной позиционной системы. В основе системы счисления может быть любое число, кроме 1 (единицы) и 0 (нуля). В Вавилоне, например, было число 60. Если за основу системы счисления берется большое число, то запись числа будет очень короткой, однако выполнение арифметических действий будет более сложным. Если же, наоборот, взять число 2 или 3, то арифметические действия выполнятся очень легко, но сама запись станет громоздкой. Можно было бы заменить десятичную систему на более удобную, но переход к ней был бы связан с большими трудностями: прежде всего пришлось бы перепечатывать заново все научные книги, переделывать все счетные приборы и машины. Вряд ли такая замена была бы целесообразной. Десятичная система стала привычной, а значит, и удобной (Щербакова Е. И. Теория и методика математического развития дошкольников: Учеб. пособие / Е. И. Щербакова)

 

2. Контроль качества знаний умений и навыков учеников на уроках математики во вспомогательной школе

 

Контролем постоянно сопровождается процесс обучения математике. Проверка знаний выявляет наличие и качество усвоения знаний учащимися, позволяет  установить пробелы в знаниях, умениях  и навыках и вовремя их устранить. Если контроль за качеством знаний учащихся показал отсутствие или слабое усвоение знаний по той или иной теме, учитель должен проанализировать и свою работу: правильность выбора учебного и дидактического материала, методов, организации учебного процесса, учета возможностей учащихся всего класса и каждого ученика в отдельности и т. д. На уроках математики чаще всего наиболее ярко выступают три вида контроля: предварительный, текущий и итоговый.

Предварительная проверка (контроль) знаний учащихся проводится в начале учебного года или перед изучением  новой темы, с тем чтобы выявить, на какие знания, опыт учащихся можно опереться при изложении нового материала, какие знания надо воспроизвести.

Текущая проверка проводится перед первоначальным закреплением знаний, с тем чтобы выявить, правильно ли поняли учащиеся новый материал, и не закрепить ошибки в памяти учащихся.

Текущая проверка позволяет  учителю узнать, насколько учащиеся сознательно усваивают новый  материал, понимают ли они объяснения, какие трудности испытывают при восприятии и усвоении знаний и в чем их причина.

Текущая проверка показывает, могут ли учащиеся применить новые  знания при решении примеров, задач (сначала под руководством учителя, а потом самостоятельно), выявить  затруднения и оказать своевременную  помощь тем учащимся, которые в  ней нуждаются. Текущая проверка выявляет, можно ли двигаться дальше в учении темы или необходимо задержаться, может быть, провести дополнительное разъяснение, используя новые пособия, организуя практическую деятельность учащихся и т. д.

Итоговый контроль позволяет  проверить знания учащихся после  изучения темы раздела, в конце четверти или учебного года. Его цель — выявление результатов обучения.

Способы контроля знаний по математике разнообразны. Это и устный опрос, и письменные и практические работы.

Устный опрос может  носить как фронтальный, так и  индивидуальный характер. При фронтальном  опросе вопросы ставятся классу и  целом, но неодинаковой степени трудности. Учитель дифференционно подходит к учащимся класса, учитывая возможности каждого ребенка и тем самым вовлекая всех в активную работу.

При устном опросе учитель  выявляет степень понимания учащимися  изученного материала, овладение ими математической теорией, знание правил и умение применять их на практике при решении примеров, задач и выполнении других заданий. Полезно ставить такие вопросы, которые бы требовали от учащихся рассуждений, объяснений своих действий. Например: «Выполни действие 80—16 и объясни решение. Как называется этот треугольник? Объясни, почему он так называется.

Сравни выражение 17x0 и 17+0, объясни, почему получились разные ответы».

Важно ставить такие вопросы, которые требовали бы не просто воспроизведения  знаний, а умения применить эти  знания в новой ситуации, при решении  задач практического характера. Например:

«Какие меры измерения  надо выбрать, чтобы измерить площадь  комнаты, стола, стены, потолка, крышки коробки из-под карандашей?

Какими мерами измерения  пользуются при взвешивании крупы, овощей в магазинах, урожая зерна, картофеля  на полях?

Найдите в классе предметы, имеющие форму прямоугольника.

Как вы докажете, что ответ  ваш правильный?»

Такие вопросы позволяют  не только выявлять качество знаний, но имеют и большое коррекционное  значение. Устный опрос можно связать  с проверкой домашнего задания. Например, учитель просит назвать  примеры с одинаковыми ответами. Учащийся читает два примера. Учитель  спрашивает, какое действие выполнено  в первом примере, как называются числа при сложении, просит назвать  классы и разряды числа, полученного  в ответе.

Фронтальная устная проверка широко применяется с целью проверить  технику вычислений, умение применять  приемы устных вычислений, знание законов арифметических действий и т. д. Устный опрос часто проводится в начале урока, но он может проходить и на любом его этапе, например перед объяснением нового материала с целью актуализации имеющихся знаний, на этапе закрепления и обобщения знаний.

Индивидуальный опрос, так  же как фронтальный, включает как  проверку теоретических знаний, так  и умение применить их на практике. Для индивидуального опроса учитель  чаще всего вызывает ученика к  доске, привлекая к ответам ученика  внимание всего класса.

Индивидуальный опрос  позволяет учителю более глубоко  проверить знания ученика. При этом он учитывает индивидуальные особенности  каждого ребенка, поэтому и вопросы, и задания подбираются с учетом особенностей ученика.

Учитывая, что наполняемость  классов в школе VIII вида небольшая (12 человек), учитель за урок имеет  возможность либо индивидуально, либо при фронтальном опросе спросить почти каждого ученика класса. Это позволяет учителю хорошо изучить особенности усвоения математических знаний всеми учащимися класса и  вовремя оказать каждому нужную помощь.

При любой форме контроля учитель должен поощрять, стимулировать  даже минимальные успехи школьников.

Самостоятельная работа на уроке может быть организована несколько  раз. Например, после коллективного  решения задачи учитель может  предложить учащимся самостоятельно записать решение задачи, а в конце урока  дать самостоятельную работу на решение  примеров.