Модели производства. Производственная функция

    Техническая эффективность – это максимально возможный объём производства, достигаемый в результате использования имеющихся ресурсов.

    Экономическая эффективность – это производство данного объёма продукции с минимальными издержками.

    В теории производства традиционно используются двухфакторная производственная функция, в которой объём производства, является функцией использования ресурсов труда (L) и капитала (K):

                                             Q = f (L,K)                                              (4)

    Общий вид производственной функции:

                                         Y = Y(X1, X2, ..., Xi, ..., Xn)                                   (5)

где Y - показатель, характеризующий результаты производства; X - факторный показатель i-го производственного ресурса; n - количество факторных показателей.

    Графически  каждый способ производства (технология) может быть представлен точкой, характеризующей  минимально необходимый набор двух факторов, нужных для производства данного объёма продукции (рис.2).

    На  рисунке изображены различные способы  производства (технологии): Т₁, Т₂, Т₃, характеризующиеся разными соотношениями в применении труда и капитала: T₁ = L₁ K₁;   T₂ = L₂ K₂;   T₃ = L₃ K₃. наклон луча показывает размеры применения различных ресурсов. Чем выше угол наклона луча, тем больше затраты капитала и меньше затраты труда. Технология Т₁ более капиталоемкая, чем технология Т₂. 

                                          K T₁

       T₂

           T₃

       Q₁

     Q₂ 

                                            0   

                                                                                       L

Рисунок 2 - Технология и производственная функция.

    Если  соединить разные технологии линией, получится изображение производственной функции (линии равного выпуска), которая получила название изокванты. На рисунке показано, что объём производства Q может быть достигнут при разных комбинациях факторов производства (Т₁,Т₂,Т_3, и т.д.). Верхняя часть изокванты отражает капиталоемкие, нижняя – трудоемкие технологии.

    Вогнутость  изоквант указывает на то, что предельные производительности факторов разнонаправлены  и в каждой  точке будут иметь  разную предельную производительность. Это говорит о том, что одно и то же приращение одного фактора  будет замещаться убывающим количеством  другого фактора.  Величина, отражающая необходимые количественные изменения  одного фактора в зависимости  от единичных измерений другого  фактора при сохраненном объёме выпуска, называться предельной нормой технического замещения факторов

    Таким образом, при обеспечении постоянного  объёма выпуска, соотношение замены одного фактора другим выражается предельной нормой технического замещения, при равенстве которой соотношению предельных продуктов факторов  достигается оптимальная их комбинация.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Производственная  функция Кобба-Дугласа

 

    Производственная  функция Кобба — Дугласа — это зависимость объёма производства Q от создающих его факторов производства - затрат труда L и капитала K.

    Впервые функция была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом  в 1927 г в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

    Общий вид функции:

                                       y = A * L^β * K^α                                  (6)

где А — технологический коэффициент,

       L – число производственных трудовых часов,

       α — коэффициент эластичности по труду,

       K – число производственного капитала,

       β — коэффициент эластичности по капиталу;

       y – выпуск продукции.

    Кобб  и Дуглас получили производственную функцию со следующими коэффициентами А = 1,01; α = 0,25; β = 0,75. Это позволило сделать вывод, что самый важный фактор производства – труд, так как созданная им доля составила три четверти всего объёма производства. 1: увеличения затрат труда расширяет объём производства в три раза больше, чем 1% прироста фондов (или капитала).

                                       Ln(Q) = Ln(1.01) + 0.75*Ln(L) + 0.25*Ln(K)                         (7)

    Несмотря  на довольно простой вид производственной функции Кобба-Дугласа, её исследование даст много полезной экономической  информации о деятельности предприятия.

1. Доход. Если сумма показателей степени (α + β) = 1, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства;
2. Если, (α + β) > 1 , то функция отражает возрастающую отдачу (изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой);
3. Если (α + β) < 1, то функция отражает убывающую отдачу. (изокванта будет выпуклой «гладкой»).³

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Задача  производителя

 

    Задача  производителя заключается в том, что он сам выбирает технологию из своего  производственного   множества, стремясь максимизировать прибыль.

    При постановке задачи формулируется цель решения и подробно описывается её содержание. Подвергаются всестороннему анализу характер и сущность всех величин, используемых в задаче, и определяются условия, при которых она решается. Корректность постановки задачи пользователем является важным моментом, так как от неё в значительной степени зависят все последующие этапы и успех в целом всей работы. В более или менее точно сформулированной постановке задачи должны быть ответы, по крайней мере, на такие вопросы: какие понятия и определения используются в предметной области; что дано; что необходимо найти, получить; как определить решение; какие данные должны быть подготовлены и каковы источники их информации; все ли имеющиеся данные нужны, какие из них бесполезны; каковы предполагаемые допущения, требования к точности решения, ограничения на время реализации и т.д. С учётом специфики задачи возникают и другие вопросы, которые уточняются по ходу выполнения тех или иных этапов. Работа по уточнению различных закономерностей, существующих в предметной области задачи, относится к системному анализу.

    Построение  модели характеризуется формализацией описания задачи с использованием математических, статистических, эвристических (логических) и других методов, при которых существующие соотношения между величинами, определяющими результат, и её целевой функцией выражаются посредством лаконичных математических формул, логических отношений и др. Таким образом, формируется модель явления с определёнными допущениями, предположениями и точностью вычислений.

    Метод решения задачи вытекает из принятой к реализации экономико-математической модели. С учётом особенностей этой модели посредством конкретных численных или других методов она должна быть доведена до реализации.

    В процессе разработки модели в первую очередь выясняется, какие математические методы формализации (типовые процедуры) больше всего подходят для решения поставленной задачи, и анализируется имеющийся опыт реализации аналогичных задач. Учёт накопленного опыта в моделировании изучаемой предметной области часто позволяет ответить на данный вопрос.

    Для того чтобы понять задачу производителя необходимо ввести в рассмотрение цены, предполагая, что каждый производимый товар (или услуга) и каждый вид ресурсов имеет цену и все цены положительны. Пусть p_i – цена i-го вида продукции, i = 1, 2, …, n.

    Тогда Р = {p₁, p₂, …, p_m} - вектор цен на продукцию; Ʌ = { λ ₁, λ ₂, …, λ _n} – вектор цен на ресурсы, используемые для производства продукции. Тогда разность скалярных произведений этих векторов на вектор выпуска и вектор затрат(которые образуют технологию T) представляет прибыль от использования данной технологии W(X):

    W(X) = PY - ɅX = p₁y₁ + p₂y₂ + … + p_my_m - λ ₁x₁ - λ ₂x₂ - … - λ _nx_n     (8)

    Теперь сформулируем математическую формализацию аксиомы, описывающей поведение производителя.

    Итак, производитель решает следующую  задачу: как найти технологию из своего производственного множества, дающую максимальную прибыль РТmax, T. Эта аксиома резко упрощает ситуацию выбора. Так, если производственная функция предприятия имеет вид (3), т.е. затраты определяют выпуск, а цена единицы выпускаемой продукции положительна, что естественно, то компонента выпуск решения этой задачи автоматически будет лежать на кривой производственных возможностей. Тогда задача производителя имеет вид

W(X) = pf (x₁, X₂, …, x_n) - λ ₁x₁ - λ ₂x₂ - … - λ _nx_n → max     (9)

    Для случая двух видов продуктов задачу можно решить графически (рисунок 3). Для этого надо двигать прямую линию, перпендикулярную вектору Р, в направлении, куда он показывает; тогда последняя точка, когда эта прямая линия еще пересекает  производственное   множество , и будет решением (на рисунок 3 - это точка Т). Как легко видеть, строгая выпуклость нужной части  производственного   множества  во втором квадранте гарантирует единственность решения. Такие же рассуждения действуют и в общем случае, для большего числа видов затрат и выпуска.

    Итак, выпуск фирмы можно охарактеризовать одной величиной - либо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска. Пространство затрат m-мерно, вектор затрат Х = (х₁, ..., х_m). Затраты однозначно определяют выпуск Y, а эта связь и есть производственная функция (3)

      

                                                                 Т                  У

    

                                                         Р 

    

                                             Х

Рисунок 3 – Решение задачи производителя 

    Возьмём частные производные от функции W(X) и приравняем их к нулю:

                                 P * (дf / дx₁) - λ ₁ = 0, i = 1,2, …, n                   (10)

    Система уравнений (10) определяет точку экстремума и эта точка – точка максимума. Следовательно, наращивание объёмов  производства идёт до тех пор, пока не начнёт выполняться вышеуказанное  соотношение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Учёт  налогов

 

    Налог - обязательные платежи, взимаемые государством с физических и юридических лиц для финансирования государственных расходов.

    Производитель характеризуется производственной функцией (3), отражающей связь затраты - выпуск и удовлетворяющей сформулированным ранее предположениям о производственных функциях.

    Налоги  могут быть разными. Рассмотрим два  их вида.

    При налоге с прибыли при ставке t производитель отчисляет государству t-ю часть прибыли. Получаем задачу:

                           (pF(X) - wX) * (1 - t) => max, X ≥ 0                   (11)

    По  крайней мере, в теоретическом плане этот налог не влияет на положение точки максимума и тем самым на оптимальный размер производства.