Методи навчання математиці

До методів проблемного навчання відносяться такі: дослідний, евристичний і метод проблемного викладу.

Центральне місце в проблемному навчанні займає дослідний метод.  Дослідний метод у навчанні, однак, тільки в якійсь мірі імітує процес наукового дослідження. Навчальне дослідження відрізняється від наукового деякими істотними особливостями.

По-перше, як уже згадувалося вище, навчальна проблема, тобто те, що досліджується в процесі проблемного навчання, і та істина, яку відкривають учні, для науки не е новими. Але вони нові для учнів, а відкриваючи для себе те, що в науці давно відкрито, учні на цьому етапі своєї навчальної діяльності міркують як першовідкривачі. Тому застосування дослідного методу в навчанні відносять до дидактики “перевідкриття”.

По-друге, стимули учнів до проведення дослідження відрізняються і від стимулів, які спонукають вченого на дослідження. Навчальне  дослідження проводиться учнями під керівництвом, при особистій  участі і за допомогою вчителя. Ця допомога повинна бути такою, щоб учні вважали, що вони самостійно досягли мети.

По-третє, як і кожний інший метод навчання, дослідний не є універсальним. У молодших і середніх класах школи в діяльність учнів можна включати тільки окремі елементи досліджень. Це є підготовкою для застосування в старших класах дослідного методу в більш розвиненій і складній формі. Але й на цьому етапі навчання цей метод можна застосовувати лише для вивчення окремих тем.

4.ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Частково-пошуковий метод (інколи називають евристичною бесідою),  суть його полягає в тому, що вчитель заздалегідь готує систему запитань, відповідаючи на які учні самостійно формулюють означення поняття, «відкривають» доведення теореми, знаходять спосіб розв'язування задачі.

Цей метод дещо схожий на дослідницький метод через те, що учні повинні самостійно зробити відкриття, дати означення, обґрунтувати твердження, тощо

5. ДОСЛІДНИЦЬКИЙ МЕТОД

Дослідницький метод передбачає самостійний пошук розв'язання пізнавальної задачі. Причому може виявитись потреба, щоб проблему сформулював сам учень або її формулює вчитель, але розв'язують учні самостійно.

У 9 класі, для прикладу, після вивчення формул для обчислення площ прямокутника, паралелограма, трикутника перед учнями ставиться проблема - знайти формулу для обчислення площі трапеції, спираючись на вже вивчені формули обчислення площ фігур. Одні учні можуть провести діагональ трапеції і звести обчислення її площі до знаходження суми площ двох трикутників, на які вона розіб'ється, інші – можуть добудувати трапецію до паралелограма, треті – побудувати трикутник, площа якого дорівнює площі трапеції, або скористатися іншими можливими способами. Так само і при знаходженні площі криволінійної трапеції, коли фігура обмежена декількома лініями, що виражаються різними функціями. Колективне обговорення наприкінці уроку знайдених способів відшукання формули площі фігури максимально активізує увагу і тих учнів, які самі не змогли знайти потрібну формулу.

Дослідження — емпіричний метод, який використовується, зокрема, в експериментальних природничих науках. Математика не являє собою експериментальну науку, тому ствердження дослідом не може бути достатньою основою істинності її положень.

Дослід треба спрямовувати на створення в навчальному процесі спеціальних ситуацій і забезпечення учням можливості дістати з них очевидні закономірності, геометричні факти, ідеї доведення. Найчастіше результати досліду є посилками індуктивних висновків, за допомогою яких здійснюються відкриття нових істин. Тому  дослід відносять до евристичних методів навчання, тобто до методів, що сприяють відкриттям .

Слід відмітити, що за допомогою емпіричних методів  виконується лише початковий етап роботи з математичного опису реальних ситуацій. Математичний матеріал (інтуїтивні поняття, гіпотези, сукупності математичних тверджень), який при цьому одержуємо, підлягає наступній обробці вже ін­шими методами.

6.МЕТОД ДОЦІЛЬНИХ ЗАДАЧ

Одним із перших методів свідомого навчання математики був метод доцільних задач, опрацьований в кінці ХІХ ст. відомим методистом С.І.Шохор-Троцьким. Пропонувалось у центрі навчання будь-якого розділу шкільної математики поставити задачу: “Із  задач при методі доцільних задач починається урок, задача стає вихідним пунктом, коли доводиться звертатися до нового арифметичного уявлення, чи то уявлення про суть множення одноцифрового числа на одноцифрове, чи то домовленість про зміст множення на дріб...”. Мались на увазі насамперед прості задачі, які дозволяли виробляти потрібні уявлення і збуджувати  розумову діяльність учнів .

Спочатку метод доцільних задач застосовували тільки при навчанні арифметики, потім і в геометрії. Книга Шохор-Троцького “Геометрія в задачах” 1909 року має багато цікавого матеріалу і для сучасного вчителя математики. В передмові до неї написано: “Учні в цьому курсі займаються переважно розв’язуванням задач. Теореми вони доводять тільки ті, які не є очевидними і не потребують надто тонких міркувань. До доведення очевидних теорем учні можуть звертатись тільки у випадку їх особливого інтересу до самого процесу доведення. Але це залежить і від складу класу, і від такту вчителя”. Автор пропонував ставити учня у такі умови, “при яких він міг би бути не лише свідком, а й, по можливості, активним учасником цього винаходу”, радив “не викладати математику, а навчати її всіма доступними вчителю і доцільними для учнів способами”

Практика засвідчила, що значення методу доцільних задач не можна перебільшувати і додержуватися його формально. По-перше, вивчення не кожної теми доцільно починати з розв'язування задач, по-друге, не можна недооцінювати роль теоретичних знань.

В наш час математики-методисти знову звертають увагу вчителів до методу доцільних задач і називають його тепер частіше “Навчання через задачі”.

7.АБСТРАКТНО-ДЕДУКТИВНИЙ І КОНКРЕТНО-ІНДУКТИВНИЙ МЕТОДИ

У навчанні математики неабиякого поширення набули абстрактно-дедуктивний і конкретно-індуктивний методи навчання. Вперше докладно проаналізував ці методи в методиці навчання математики К. Ф. Лебединцев. Суть абстрактно-дедуктивного метода навчання полягає в тому, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам повідомляє означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні приклади об'єктів, що належать до понять. Формулюється й доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу .

Узагальнення і абстрагування — два логічних способи, які застосовуються майже завжди разом в процесі пізнання.

Узагальнення — це мислене виділення, фіксування яких-небудь загальних істотних властивостей, які належать певному класу предметів або відношень.

Абстрагування — це мислене відхилення, відокремлення загальних, істотних властивостей, виділених внаслідок узагальнення, від інших неістотних або незагальних  властивостей предметів або відношень, які розглядаються, і відкидання неістотних.

Істотні з математичної точки зору, тобто один і той самий предмет може вивчатися, наприклад, і в фізиці, і в математиці. Для фізики істотними в одні його властивості (твердість, теплопровідність, електропровідність та інші фізичні властивості), для математики ці властивості неістотні, вона вивчає тільки форму, розміри, розміщення предмета.

Узагальнення і абстрагування незмінно застосовуються в процесі формування понять, при переході від уявлень до понять і разом з індукцією як евристичний метод. Під узагальненням розуміють також перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального.

Під конкретизацією розуміють зворотний перехід — від більш загального до менш загального, від загального до одиничного.

Якщо узагальнення використовується при формуванні понять, то конкретизація — при описі конкретних ситуацій за допомогою сформованих раніше понять.

Уточнимо перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального і зворотний перехід.

Вивчення окремих предметів а, b, с, ... приводить нас до висновку про наявність у них спільної властивості або загальних властивостей, які ми можемо об'єднати в одну — кон'юнкцію цих властивостей S(b), тобто S(а), S(b), S(с), ..., S(х) означає: « x  має властивість S ».

Відхиленням цих властивостей  S  від інших властивостей предметів (тобто абстрагуванням), що розглядаються, ми формуємо клас предметів, який характеризується властивістю S:

А= { х | S(х) }.

Таким чином ми здійснюємо перехід від одиничного (від окремих предметів) до загального (класу предметів). Подальше вивчення приво­дить до включення класу А в більш широкий клас В; А В. Це і є перехід до більш загального.

У математиці узагальнення і абстрагування часто поєднані з заміною сталих змінними (в переході від запису окремих фактів до запису загальних закономірностей), а конкретизація – з підстановкою замість змінних їх значень (в зворотному переході).

Індукція – перехід від частинного до загального, від одиничних фактів, встановлених за допомогою спостереження і експерименту, до узагальнень є закономірністю пізнання. Невід'ємною логічною формою такого переходу є індукція, що являє собою метод міркувань від частинного до загального, виведення висновку з частинних посилок (від лат. inductio — наведення).

Використання цього методу міркувань, для того щоб одержати нові знання в навчальному процесі, називають індуктивним методом навчання. Нехай А = {а1, а2 ,  ...} – множина всіх можливих частинних випадків, в кожному з яких деяка властивість С може бути або не бути (має або не має місця). Припустимо, що в k  випадках має місце властивість С, тобто є посилки  С(a1), С(а2), ..., С(ак).

Індуктивні міркування будуються ва схемою:

    (*)

(в схемі над рискою записано перелік посилок, під рискою — висновок). У випадку, коли А — скінчена множина, що складається з k елементів (всіх можливих частинних випадків - k), тобто наші посилки вичерпують всі можливі частинні випадки, схема (*) являє собою пра­вило виведення, засноване на формулі  ,

і висновок достовірний (істинний, якщо істинні посилки). У цьому випадку міркування, побудоване за схемою (*), називається повною індукцією.

Якщо ж множина А всіх можливих частинних випадків має більше k елементів або ж нескінченість, що особливо часто зустрічається в математиці, тобто коли наші посилки не вичерпують всі можливі частинні випадки, то висновок за схемою (*) не є достовірно істинним висловленням, а тільки ймовірно істинний (правдоподібний) при істинності посилок. Таке міркування, побудоване за схемою (*), називається неповною індукцією.

В математиці широко використовується ще один вид індукції — повна математична (або математична) індукція.

Математична індукція — спеціальний метод доведення тверджень, які виражають деяку властивість, притаманну всім натуральним числам. Цей метод хоч і називається індуктивним, за своєю структурою являє собою дедуктивне міркування, що спирається на аксіому математичної індукції:

Р(1)   х (Р (х))  Р (х +1))   nР (n),

тобто якщо 1 має деяку властивість Р і якщо для кожного натурального числа х маємо, “якщо воно має цю властивість, то його має і безпосередньо наступне за ним число х + 1” , то кожне натуральне число n має властивість Р*.

Звичайно, коли говорять «індуктивні методи навчання», то мають на увазі застосування неповної індукції в навчанні. А коли говоримо “індукція” – слід мати на увазі неповну індукцію.

Через недостовірність висновку індукція не може бути методом доведення. Але вона являє собою ефективний евристичний метод, тобто метод відкриття нових істин. В такій якості індукцію слід широко застосовувати в шкільному навчанні в рамках методів, орієнтованих на навчання учнів діяльності, спрямованої на засвоєння нових знань.

В історії математики були випадки, коли видатні математики помилялися в своїх індуктивних висновках. Наприклад, П.Ферма припустив, що всі числа виду + 1 прості, виходячи з того, що при n = 1, 2, 3, 4 вони є такими, але Л. Ейлер знайшов, що вже при n = 5 число + 1 не е простим (воно ділиться на 641).

Однак можливість одержати за допомогою індукції хибне висловлення не є підставою для заперечення ролі індукції в шкільному навчанні математики. Тому, застосовуючи індукцію, необхідно підкреслювати, що висновок є лише припущенням, що може бути доведено, коли воно істинне, або відкинуте, коли воно хибне.

Дедукція  (від лат. deductio — виведення) в широкому розумінні являє собою форму мислення, яка полягає в тому, що нове твердження, а точніше, висловлена в ньому думка виводиться суто логічним способом, тобто за певними правилами логічного виведення (слідування) з деяких відомих тверджень (думок).

Вперше теорія дедукції (логічного виведення) була розроблена Аристотелем. Ця теорія розвивалась, удосконалювалась з розвитком науки логіки. Особливий розвиток з урахуванням потреб математики вона одержала у вигляді теорії доведення в математичній логіці.

Дедуктивне міркування (умовивід) відрізняється від індуктивного, або міркування за аналогією достовірністю висновку, тобто в дедуктивному міркуванні висновок істинний,  коли істинні всі посилки. На відмінність від індукції (неповної) і аналогії в дедуктивному міркуванні не можна одержати хибний висновок із істинних посилок. Саме тому дедуктивні міркування використовуються в математичних доведеннях (доведеннях математичних тверджень). Широке застосування дедукції в математиці зумовлено аксіоматичним методом побудови математичних теорій.

Аксіоматичний метод, по суті, являє собою своєрідний метод встановлення істинності тверджень. Це вихідні твердження, або аксіоми теорії. Істинність останніх тверджень, теорем цієї теорії, встановлюється за допомогою дедуктивних доведень, тобто всі останні твердження теорії логічно виводяться (дедукуються) з попередніх тверджень: аксіом, означень і раніше доведених теорем. Ось чому математику і називають «дедуктивною» наукою — в ній все виводиться, «дедукується» з деяких первинних (вихідних) фактів, які висловлені в аксіомах.