Логарифмический мир

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, по логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Логарифмы на эстраде.

Самый поразительный  из номеров, выполняемых перед публикой профессиональными счетчиками без  сомнения следующий.

 Предуведомленные афишей, что счетчик-виртуоз будет извлекать в уме корни высоких степеней из многозначных чисел, будущие зрители заготавливают дома путем терпеливых выкладок 31 степень какого-нибудь числа и намерены сразить счетчика 35-значным числовым линкором. В надлежащий момент зритель обращается к счетчику со словами: - а попробуйте извлечь корень 31-ой степени из следующего 35-значного числа! Запишите, я продиктую.

Виртуоз вычислитель  берет мел, но прежде чем зритель  успел открыть рот, чтобы произнести первую цифру, у него уже записан  результат: 13.

Не зная числа, он извлек из него корень, да еще 31-ой степени, да еще в уме, да еще с молниеносной быстротой! Зритель изумлен, уничтожен и между тем во всем этом нет ничего сверхъестественного. Секрет просто в том, что существует только одно число, именно 13, которое в 31 степени дает 35-значный результат. Числа <13, дают меньшее число цифр, чем 35, большие - больше.

Счетчику помогли  логарифмы, двузначные логарифмы, которые  он помнит наизусть для первых 15-20 чисел. Затвердить их вовсе не так трудно, как кажется, особенно если пользоваться тем, что логарифм составного числа = сумме логарифмов его простых множителей.

Зная твердо, логарифм 2,3,7, вы уже знаете, логарифмы  первого десятка, для второго  десятка требуется помнить логарифмы  еще четырех чисел. Как бы то ни было, эстрадный вычислитель мысленно располагает следующей табличкой двузначных логарифмов:

Математический  трюк состоял в следующем: . Искомый логарифм может заключаться между и или между 1,09 и 1,13. В этом интервале имеется логарифм только одного целого числа, именно 1,11-log13.

            Таким образом, и был найден результат. 

Логарифмы в электроосвещении

  Задача

  Причина того, что наполненные газом (часто  называемые неправильно "полуваттными") лампочки дают более яркий свет, чем пустотные с металлической нитью из такого же материала, кроется в различной температуре нити накала. По правилу, установленному в физике, общее количество света, испускаемое при белом калении, растет пропорционально 12-й степени абсолютной температуры. Зная это, проделаем такое вычисление: определим, во сколько раз "полуваттная" лампа, температура нити накала которой 2500° абсолютной шкалы (т. е. при счете от -273° Ц), испускает больше света, чем пустотная с нитью, накаленной до 2200°.

  Решение

  Обозначив искомое отношение через х, имеем  уравнение

x = (2500/2200)¹² = (25/22)¹²,

  откуда

lg x = 12(lg 25 - lg 22); x = 4,6.

  Наполненная газом лампа испускает света  в 4,6 раза больше, нежели пустотная. Значит, если пустотная дает свет в 50 свечей, то наполненная газом при тех  же условиях даст 230 свечей.

  Сделаем еще расчет: какое повышение абсолютной температуры (в процентах) необходимо для удвоения яркости лампочки?

  Решение

  Составляем  уравнение

(1 + x/100)¹² = 2,

  откуда

lg(1 + x/100) = lg 2/12 и x = 6%.

  Наконец, третье вычисление: насколько - в процентах - возрастет яркость лампочки, если температура ее нити (абсолютная) поднимется на 1%?

  Решение

  Выполняя  с помощью логарифмов вычисление

x = 1,01¹²,

  находим:

x = 1,13.

  Яркость возрастет на 13%.

  Проделав  вычисление для повышения температуры  на 2%, найдем увеличение яркости на 27%, при повышении температуры  на 3% - увеличение яркости на 43%.

  Отсюда  ясно, почему в технике изготовления электролампочек так заботятся  о повышении температуры нити накала, дорожа каждым лишним градусом.

Завещания на сотни лет

  Кто не слышал о том легендарном числе  пшеничных зерен, какое будто  бы потребовал себе в награду изобретатель шахматной игры? Число это составлялось путем последовательного удвоения единицы: за первое поле шахматной доски изобретатель потребовал 1 зерно, за второе 2 и т. д., все удваивая, до последнего, 64-го поля.

  Однако  с неожиданной стремительностью числа растут не только при последовательном удвоении, но и при гораздо более умеренной норме увеличения. Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза. Как будто не столь заметно возрастание. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную сумму. Этим объясняется поражающее увеличение капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжения об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Веньямина Франклина. Оно опубликовано в "Собрании разных сочинений Веньямина Франклина". Вот извлечение из него:

  "Препоручаю  тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами, по 5 на сто в год, в заем молодым ремесленникам^*. Сумма эта через сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столетия сумма возрастет до 4061000 фунтов стерлингов, из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3000000 - правлению Массачузетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов".

  ^* (В Америке в ту эпоху еще не было кредитных учреждений.)

  Оставляя  всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет должны превратиться в

x = 1000 ×1,05¹⁰⁰ фунтов.

  Это выражение можно вычислить с  помощью логарифмов

lg x = lg 1000 + 100 lg 1,05 = 5,11893,

  откуда

x = 131000

  в согласии с текстом завещания. Далее, 31000 фунтов в течение следующего столетия превратятся в

y = 31000 × 1,05¹⁰⁰,

  откуда, вычисляя с помощью логарифмов, находим:

y = 4076500

  - сумму, несущественно отличающуюся от указанной в завещании.

Логарифмическая комедия

      Задача

  В добавление к тем математическим комедиям, с которыми читатель познакомился в главе V, приведем еще образчик того же рода, а именно "доказательство" неравенства 2 > 3. На этот раз в доказательстве участвует логарифмирование. "Комедия" начинается с неравенства

1/4 > 1/8,

  бесспорно правильного. Затем следует преобразование:

(1/2)² > (1/2)³,

  также не внушающее сомнения. Большему числу  соответствует больший логарифм, значит,

2lg₁₀ (1/2) > 3lg₁₀ (1/2).

  После сокращения на lg₁₀ (1/2) имеем: 2 > 3. В чем ошибка этого доказательства?

  Решение

  Ошибка  в том, что при сокращении на lg₁₀ (1/2) не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg₁₀ (1/2) есть число отрицательное. [Если бы мы логарифмировали при основании не 10, а другом, меньшем чем 1/2, то lg (1/2) был бы положителен, но мы не вправе были бы тогда утверждать, что большему числу соответствует больший логарифм.]

Любое число - тремя двойками

  Задача

  Закончим  книгу остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники  одного съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.

  Решение

  Покажем, как задача решается, сначала на частном примере. Пусть данное число 3. Тогда задача решается так:  .

  Легко удостовериться в правильности этого  равенства. Действительно,

  Если  бы дано было число 5, мы разрешили бы задачу тем же приемом:

  Как видим, мы используем здесь то, что  при квадратном радикале показатель корня не пишется.

  Общее решение задачи таково. Если данное число N, то

  причем  число радикалов равно числу  единиц в заданном числе. 

  Логарифмические диковинки.

Решим несколько примеров:

1. Вычислить 

Решение: Так как   , то   .

Вывод:   при 0 < x  , 0 < y  .

2. Доказать, что если а и b – длины катетов, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, то:

Доказательство: Приведем все логарифмы к основанию b+c:

]

 

 ,  .

 Повторяя логарифмические выкладки в обратном порядке, докажем исходное равенство. Затем, что оно верно при дополнительных ограничениях   ,   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

В этой работе мы еще раз убедились в том, что математика это универсальный язык, используя который, как инструмент познания мира, можно увидеть в нем гармонию, красоту, а самое главное проявление закономерности в вещах, на первый взгляд никак между собой не связанных. Возможно, язык математики станет универсальным ключом к познанию мирозданья и перевернет представление человечества о пространстве и времени.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы: 

1. Перельман  Я.И. «Занимательная алгебра»,

2.Интернет-ресурсы