Логарифмический мир

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №12 г. Пензы им. В.В. Тарасова. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Научно-практическая конференция школьников. 
 

Логарифмический мир 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                       Выполнила: ученица 10 «А» класса

                                                                                        Ведяшева Анастасия

                                                                  

                                                                                        Научный руководитель:

                                                                                        Тарыкина Татьяна Матвеевна

                                                                                         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Пенза 2011  
 

Содержание: 

Из истории логарифмов…………………………………………………………………………3

Звезды, шум и логарифмы……………………………………………………………………....3

Логарифмы в музыке…………………………………………………………………………….4

Логарифмическая спираль………………………………………………………………………5

Логарифмы на эстраде…………………………………………………………………………..6

Логарифмы в электроосвещении……………………………………………………………….7

Завещание на сотни лет…………………………………………………………………………8

Логарифмическая комедия………………………………………………………………………9

Любое число - тремя двойками ………………………………………………………………..10

Логарифмические диковинки…………………………………………………………………..11

Заключение………………………………………………………………………………………12

Список литературы……………………………………………………………………………...13

 

Из истории логарифмов. 

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма,  т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632)ПЕРВЫМ ОПУБЛИКОВАЛ РАБОТУ НЕПЕР  в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов  дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г.  Идеей логарифма  Непер овладел около   1594г. ,хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в   переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогрессии, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого.В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма»  и «мантисса». Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми.

Звезды, шум и логарифмы.

  Заголовок этот, связывающий столь, казалось бы, несоединимые вещи, не притязает быть пародией на произведения Кузьмы Пруткова; речь в самом деле пойдет о звездах  и о шуме в тесной связи с  логарифмами.

  Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом - по логарифмической шкале.

  Астрономы распределяют звезды по степеням видимой  яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что "величина" звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,5^3-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Не останавливаюсь здесь подробнее на этих интересных соотношениях, так как им уделено достаточно страниц в другой моей книге - "Занимательная астрономия".

  Сходным образом оценивается и громкость  шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости служит "бел", практически - его десятая доля, "децибел". Последовательные степени громкости - 1 бел, 2 бела и т. д. (практически - 10 децибел, 20 децибел и т. д.) - составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая же "сила" этих шумов (точнее - энергия) составляет прогрессию геометрическую со знаменателем 10. Разности громкостей в 1 бел отвечает отношение силы шумов 10. Значит, громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

  Дело  станет яснее, если рассмотрим несколько  примеров.

  Тихий шелест листьев оценивается в 1 бел, громкая разговорная речь - в 6,5 бела, рычанье льва - в 8,7 бела. Отсюда следует, что по силе звука разговорная речь превышает шелест листьев в

10^6,5-1 = 10^5,5 = 316000 раз;

  львиное рычанье сильнее громкой разговорной  речи в

10^8,7-6,5 = 10^2,2 = 158 раз.

  Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для человеческого организма. Указанная норма на многих заводах превосходится: здесь бывают шумы в 10 и более бел; удары молотка в стальную плиту порождают шум в 11 бел. Шумы эти в 100 и 1000 раз сильнее допустимой нормы ив 10-100раз громче самого шумного места Ниагарского водопада (9 бел).

  Случайность ли то, что и при оценке видимой  яркости светил и при измерении  громкости шума мы имеем дело с  логарифмической зависимостью между  величиной ощущения и порождающего его раздражения? Нет, то и другое - следствие общего закона (называемого  "психофизическим законом Фехнера"), гласящего: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Логарифмы в музыке

  Музыканты редко увлекаются математикой; большинство  их, питая к этой науке чувство  уважения, предпочитает держаться от нее подальше. Между тем музыканты - даже те, которые не проверяют, подобно Сальери у Пушкина, "алгеброй гармонию", - соприкасаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими страшными вещами, как логарифмы.

  Позволю себе по этому поводу привести отрывок из статьи нашего покойного физика проф. А. Эйхенвальда^*.

  ^* (Она была напечатана в "Русском астрономическом календаре на 1919 г." и озаглавлена "О больших и малых расстояниях".)

  "Товарищ  мой по гимназии любил играть  на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом ничего не имеют общего. "Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприменимой".

  Представьте же себе, как неприятно был поражен  мой товарищ, когда я доказал  ему, что,, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах... И действительно, так  называемые "ступени" темперированной  хроматической гаммы не расставлены на равных расстояниях ни по отношению к числам колебаний, ни по отношению к длинам волн соответствующих звуков, а представляют собой логарифмы этих величин. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.

  Положим, что нота do самой низкой октавы - будем ее называть нулевой октавой - определена n колебаниями в секунду. Тогда do первой октавы будет делать в секунду 2n колебаний, а m-й октавы n × 2^m колебаний и т. д. Обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами p, принимая основной тон do каждой октавы за нулевой; тогда, например, тон sol будет 7-й, la будет 9-й и т. д.; 12-й тон будет опять do, только октавой выше. Так как в темперированной хроматической гамме каждый последующий тон имеет в   большее число колебаний, чем предыдущий, то число колебаний любого тона можно выразить формулой

  Логарифмируя  эту формулу, получаем:

lg N_pm = lg n + m lg 2 + p lg 2/12

  или

lg N_pm = lg n + (m + p/12)lg 2,

  а принимая число колебаний самого низкого do за единицу (n = 1) и переводя все логарифмы к основанию, равному 2 (или попросту принимая lg 2 = 1), имеем:

lg N_pm = m + p/12.

  Отсюда  видим, что номера клавишей рояля  представляют собой логарифмы чисел  колебаний соответствующих звуков^*. Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой характеристику, а номер звука в данной октаве^** - мантиссу этого логарифма".

  ^* Умноженные на 12.

  ^** Деленный на 12.

Логарифмическая спираль.

Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время  окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т.е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадает и точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали:

r = ae^k? ,

гед r – расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, ? – угол между лучом ОМ и выбранным лучом О_х , a и k – постоянные.

Решая его, получим:

ln e^k? = ln   , k? = ln   , ? =   ln   .

Так как это  уравнение связано с логарифмической  функцией, то вычисленную по этой формуле  спираль называют логарифмической.

Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596-1650г.г.). Логарифмическая  спираль часто используется в  технических устройствах. Например, вращающиеся ножи имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали- под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетаю большие расстояние, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если же они ориентируются на точечный источник света, скажем, на пламя свечи, то инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание  своей формы. При этом они растут всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут  расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.