Линейная зависимость и независимость векторов плоскости

Пример 5

Выяснить, будут ли коллинеарны  следующие векторы пространства:

а)  ; 
б)   
в) 

Решение: 
а) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов: 

Система не имеет решения, значит, векторы   не коллинеарны.

«Упрощёнка» оформляется  проверкой пропорции  . В данном случае: 
 – соответствующие координаты не пропорциональны, значит, векторы   не коллинеарны.

Ответ: векторы   не коллинеарны.

б-в) Это пункты для самостоятельного решения. Попробуйте его оформить двумя  способами.

Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов.

Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может  применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых.

Добро пожаловать во второй раздел:

 

Линейная  зависимость и независимость  векторов трехмерного пространства. 
Пространственный базис и аффинная система координат

Многие закономерности, которые  мы рассмотрели на плоскости, будут  справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать  вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.

Теперь вместо плоскости  компьютерного стола исследуем  трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится  в помещении, кто-то на улице, но в  любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и  высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый  – лишний.

И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы  , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)

Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства?  Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являютсякомпланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают.

Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной  плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так  отрывался только Сальвадор Дали =)).

Определение: три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.

Компланарные  векторы всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы   мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы   не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом:   (а почему – легко догадаться по материалам предыдущего раздела).

Справедливо и обратное утверждение: некомпланарные векторы всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.

Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов  , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису  , где   – координаты вектора   в данном базисе

Напоминаю, также можно  сказать, что вектор   представлен в виде линейной комбинациибазисных векторов.

Понятие системы координат  вводится точно так же, как и  для плоского случая, достаточно одной  точки и любых трёх линейно  независимых векторов:

Точка   пространства, которая называется началом координат, и  некомпланарныевекторы  , взятые в определённом порядке,  задают аффинную систему координат трёхмерного пространства: 

Конечно, координатная сетка  «косая» и малоудобная, но, тем  не менее, построенная  система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координатной любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал.

Наиболее привычным и  удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства:

Точка   пространства, которая называется началом координат, и ортонормированныйбазис   задают декартову прямоугольную систему координат пространства. Знакомая картинка: 

Перед тем, как перейти  к практическим заданиям, вновь систематизируем  информацию:

Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие  утверждения: 
1) векторы линейно независимы; 
2) векторы образуют базис; 
3) векторы не компланарны; 
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; 
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Противоположные высказывания, думаю, понятны.

Линейная зависимость / независимость  векторов пространства традиционно  проверяется с помощью определителя (пункт 5). Оставшиеся практические задания  будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Пора повесить на гвоздь геометрическую клюшку и орудовать бейсбольной  битой линейной алгебры:

Три вектора пространства   компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю:  .

Обращаю внимание на небольшой  технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится). Но гораздо  лучше в столбцы, поскольку это  выгоднее для решения некоторых  практических задач.

Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в  них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков: Как вычислить определитель?

Пример 6

Проверить, образуют ли базис  трёхмерного пространства следующие  векторы:

а)   
б) 

Решение: Фактически всё решение сводится к вычислению определителя.

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов   (определитель раскрыт по первой строке): 
  
, значит, векторы   линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.

Ответ: данные векторы образуют базис

б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ  в конце урока.

Встречаются и творческие задачи:

Пример 7

При каком значении параметра   векторы   будут компланарны?

Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю: 

По существу, требуется  решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков – определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке: 

Проводим дальнейшие упрощения  и сводим дело к простейшему линейному  уравнению: 

Ответ: при 

Здесь легко выполнить  проверку, для этого нужно подставить полученное значение   в исходный определитель и убедиться, что  , раскрыв его заново.

В заключение рассмотрим ещё  одну типовую задачу, которая носит  больше алгебраический характер и традиционно  включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что  заслуживает отдельного топика:

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного  пространства 
и найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Пример 8

Даны векторы  . Показать, что векторы   образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора   в этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора   вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы   линейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов  : 
 
, значит, векторы   линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов   обязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую  часть: если векторы   образуют базис, то любой вектор   можно единственным способом разложить по данному базису:  , где   – координаты вектора  в базисе  .

Поскольку наши векторы   образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор   можно единственным образом разложить по данному базису: 
, где   – координаты вектора   в базисе  .

По условию и требуется  найти координаты  .

Для удобства объяснения поменяю  части местами:  . В целях нахождения   следует расписать данное равенство покоординатно: 

По какому принципу расставлены  коэффициенты? Все коэффициенты левой  части в точности перенесены из определителя  , в правую часть записаны координаты вектора  .

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают поформулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы  уже найден: 
, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники: 

Таким образом: 
 – разложение вектора   по базису  .

Ответ: 

Как я уже отмечал, задача носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это  не обязательно те векторы, которые  можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, абстрактные  векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно  сформулировать и решить аналогичную  задачу, решение будет намного  проще. Однако на практике мне такое  задание ни разу не встречалось, именно поэтому я его пропустил в  предыдущем разделе.

Такая же задача с трёхмерными  векторами для самостоятельного решения:

Пример 9

Даны векторы  . Показать, что векторы   образуют базис и найти координаты вектора   в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный  образец чистового оформления в  конце урока.

Аналогично можно рассмотреть  четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные  пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра. Собственно, о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы  полюбят вас!

Решения и  ответы:

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов: 
 
Ответ: при 

Пример 4: Доказательство: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. 
1) Проверим параллельность противоположных сторон   и  . 
Найдём векторы: 
 
Вычислим определитель, составленный из координат векторов  : 
, значит, данные векторы не коллинеарны, и стороны   не параллельны. 
2) Проверим параллельность противоположных сторон   и  . 
Найдём векторы: 
 
Вычислим определитель, составленный из координат векторов  :