Линейная зависимость и независимость векторов плоскости

Линейная  зависимость и независимость  векторов плоскости. 
Базис плоскости и аффинная система координат

Рассмотрим плоскость  вашего компьютерного стола (просто стола, тумбочки, пола, потолка, кому что  нравится). Задача будет состоять в  следующих действиях:

1) Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора – лишка.

2) На основе выбранного  базиса задать систему координат (координатную сетку), чтобы присвоить координаты всем находящимся на столе предметам.

Не удивляйтесь, сначала  объяснения будут на пальцах. Причём, на ваших. Пожалуйста, поместите указательный палец левой руки на край столешницы так, чтобы он смотрел в монитор. Это будет вектор  . Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же – чтобы он был направлен на экран монитора. Это будет вектор  . Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Что можно сказать о векторах  ? Данные векторыколлинеарны, а значит, линейно выражаются друг через друга: 
, ну, или наоборот:  , где   – некоторое число, отличное от нуля.

Картинку сего действа  можно посмотреть на уроке Векторы для чайников, где я объяснял правило умножения вектора на число.

Будут ли ваши пальчики   задавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина.

Такие векторы называют линейно зависимыми.

Справка: Слова «линейный», «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т.д. Есть только линейные (1-ой степени) выражения и зависимости.

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда они коллинеарны.

Скрестите пальцы на столе, чтобы между ними был любой  угол, кроме 0 или 180 градусов.Два вектора плоскости   линейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Итак, базис   получен. Не нужно смущаться, что базис получился «косым» с неперпендикулярными векторами различной длины. Очень скоро мы увидим, что для его построения пригоден не только угол в 90 градусов, и не только единичные, равные по длине векторы

Любой вектор плоскости   единственным образом раскладывается по базису  : 
, где   – действительные числа. Числа   называют координатами вектора в данном базисе.

Также говорят, что вектор   представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение   называют разложением вектора   по базису   или линейной комбинацией базисных векторов.

Например, можно сказать, что вектор   разложен по ортонормированному базису плоскости  , а можно сказать, что он представлен в виде линейной комбинации векторов  .

Сформулируем определение базиса формально: Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов  , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

Существенным моментом определения  является тот факт, что векторы  взяты в определённом порядке. Базисы   – это два совершенно разных базиса! Как говорится, мизинец левой руки не переставишь на место мизинца правой руки.

С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного  стола. Почему недостаточно? Векторы  являются свободными и блуждают по всей плоскости. Так как же присвоить  координаты тем маленьким грязным  точкам стола, которые остались после  бурных выходных? Необходим отправной  ориентир. И таким ориентиром является знакомая всем точка – начало координат. Разбираемся с системой координат:

Начну со «школьной» системы. Уже на вступительном уроке Векторы для чайников я выделял некоторые различия между прямоугольной системой координат и ортонормированным базисом  . Вот стандартная картина:

Когда говорят о прямоугольной системе координат, то чаще всего имеют в виду начало координат, координатные оси и размерность по осям. Попробуйте набрать в поисковике «прямоугольная система координат», и вы увидите, что многие источники вам будут рассказывать про знакомые с 5-6-го класса координатные оси и о том, как откладывать точки на плоскости.

С другой стороны, создается  впечатление, что прямоугольную  систему координат вполне можно  определить через ортонормированный  базис  . И это почти так. Формулировка звучит следующим образом:

Точка   плоскости, которая называется началом координат, и ортонормированныйбазис   задают декартову прямоугольную систему координат плоскости. То есть,  прямоугольная система координат однозначно определяется единственной точкой и двумя единичными ортогональными векторами  . Именно поэтому, вы видите чертёж, который я привёл выше – в геометрических задачах часто (но далеко не всегда) рисуют и векторы, и координатные оси.

Думаю, всем понятно, что  с помощью точки   (начала координат) и ортонормированного базиса   ЛЮБОЙ ТОЧКЕ плоскости и ЛЮБОМУ ВЕКТОРУ плоскости можно присвоить координаты. Образно говоря, «на плоскости всё можно пронумеровать».

Обязаны ли координатные векторы  быть единичными? Нет, они могут иметь  произвольную ненулевую длину. Рассмотрим точку    и два ортогональных вектора   произвольной ненулевой длины:

 
Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторами   задают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например,   или  . Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторы в общем случае имеют различные длины, отличные от единицы. Если длины равняются единице, то получается привычный ортонормированный базис.

! Примечание: в ортогональном базисе, а также ниже в аффинных базисах плоскости и пространства единицы по осям считаются УСЛОВНЫМИ. Например, в одной единице по оси абсцисс содержится 4 см, в одной единице по оси ординат 2 см. Данной информации достаточно, чтобы при необходимости перевести «нестандартные» координаты в «наши обычные сантиметры».

И второй вопрос, на который  уже на самом деле дан ответ  – обязательно ли угол между базисными  векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов.

Точка   плоскости, которая называется началом координат, и  неколлинеарные векторы  , взятые в определённом порядке,  задают аффинную систему координат плоскости:

 
Иногда такую систему координат  называют косоугольной системой. В качестве примеров на чертеже изображены точки   и векторы: 

Как понимаете, аффинная система  координат ещё менее удобна, в  ней не работают формулы длин векторов и отрезков, которые мы рассматривали  во второй части урока Векторы для чайников, многие вкусные формулы, связанные со скалярным произведением векторов. Зато справедливы правила сложения векторов и умножения вектора на число, формулы деления отрезка в данном отношении, а также ещё некоторые типы задач, которые мы скоро рассмотрим.

А вывод таков, что наиболее удобным частным случаем аффинной системы координат является декартова  прямоугольная система. Поэтому  её, родную, чаще всего и приходится лицезреть.

Переходим к практической части. Все задачи данного урока  справедливы как для прямоугольной  системы координат, так и для  общего аффинного случая. Сложного здесь ничего нет, весь материал доступен даже школьнику.

Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости   были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны  . По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения  .

Пример 1

а) Проверить, коллинеарны  ли векторы  . 
б) Образуют ли базис векторы  ?

Решение:  
а) Выясним, существует ли для векторов   коэффициент пропорциональности  , такой, чтобы выполнялись равенства  : 
, значит, данные векторы коллинеарны.

Обязательно расскажу о «пижонской»  разновидности применения данного  правила, которая вполне прокатывает  на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию   и посмотреть, будет ли она верной:

Составим пропорцию из отношений соответствующих координат  векторов: 

Сокращаем: 
, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,  

Отношение можно было составить  и наоборот, это равноценный вариант: 

Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют  место равенства  . Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами: 

б) Два вектора плоскости  образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем  на коллинеарность векторы  . Составим систему: 

Из первого уравнения  следует, что  , из второго уравнения следует, что  , значит,система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.

Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.

Упрощённая версия решения  выглядит так:

Составим пропорцию из соответствующих координат векторов  : 
, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.

Обычно такой вариант  не бракуют рецензенты, но возникает  проблема в тех случаях, когда  некоторые координаты равны нулю. Вот так:  . Или так:  . Или так:  . Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».

Ответ: а)  , б) образуют.

Небольшой творческий пример для самостоятельного решения:

Пример 2

При каком значении параметра   векторы   будут коллинеарны?

В образце решения параметр найден через пропорцию  .

Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым  пунктом как раз добавим его:

Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие  утверждения: 
1) векторы линейно независимы; 
2) векторы образуют базис; 
3) векторы не коллинеарны; 
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; 
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения: 
1) векторы линейно зависимы; 
2) векторы не образуют базиса; 
3) векторы коллинеарны; 
4) векторы можно линейно выразить друг через друга; 
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны  все встретившиеся термины и  утверждения.

Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости   коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю:  . Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители.

Решим Пример 1 вторым способом:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов  : 
, значит, данные векторы коллинеарны.

б) Два вектора плоскости  образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов  : 
, значит, векторы   линейно независимы и образуют базис.

Ответ: а)  , б) образуют.

Выглядит значительно  компактнее и симпатичнее, чем решение  с пропорциями.

Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко  в условии заодно требуется проверить  векторы и на ортогональность (базис  в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание  подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов.

С помощью рассмотренного материала можно устанавливать  не только коллинеарность  векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами.

Пример 3

Даны вершины четырёхугольника  . Доказать, что четырёхугольник   является параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма: 
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Таким образом, необходимо доказать: 
1) параллельность противоположных сторон   и  ; 
2) параллельность противоположных сторон   и  .

Доказываем:

1) Найдём векторы: 

Вычислим определитель, составленный из координат векторов  : 
, значит, данные векторы  коллинеарны, и  .

2) Найдём векторы: 

Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с  толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов  : 
, значит, данные векторы  коллинеарны, и  .

Вывод: Противоположные стороны четырёхугольника   попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать.

Больше фигур хороших  и разных:

Пример 4

Даны вершины четырёхугольника  . Доказать, что четырёхугольник   является трапецией.

Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть  определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит.

Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце  урока.

А теперь пора потихонечку  перебираться из плоскости в пространство:

Как определить коллинеарность векторов пространства?

Правило очень похоже. Для того чтобы два вектора пространства   были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны  .