Кривые второго порядка

+ 2D(x’cosα - y’sinα) + 2E(x’sinα + y’cosα) + F = 0  

Выберем угол α так, чтобы коэффициент при произведении x’y’ обратился в ноль, т.е. чтобы выполнялось равенство - 2Acosαsinα + 2B(cos²α - sin²α) + 2Csinαcosα = 0

или  или     

В новой  системе координат Ox’y’ (после поворота на угол α), учитывая, что

;  , уравнение будет иметь вид  

А’x’² + С’y’² + 2D’x’ + 2Е’y’ + F’ = 0, где коэффициенты А’ и С’ не равны одновременно нулю.     

Следующий этап упрощения заключается в  параллельном переносе осей Ox’ и Oy’ до совпадения их с осями кривой, при этом начало координат совпадёт с центром (или вершиной, в случае параболы) кривой. Техника преобразований на данном этапе заключается в выделении полного квадрата.  

Таким образом, мы получим канонические уравнения кривых второго порядка.

Всего возможны 9 качественно различных  случаев (включая случаи вырождения и распадения):

1.  (эллипс), 

2.   (гипербола),  

3.  px (парабола),

4.   (мнимый эллипс),   

5.   (пара мнимых параллельных прямых),  

6.   (пара параллельных прямых),  

7.   (пара совпавших прямых),  

8.   (точка (пара мнимых пересекающихся прямых)),   

9.   (пара пересекающихся прямых).   
 

Пример: Записать классическое уравнение гиперболы    в канонической форме. Сделать чертёж.      

Решение.

 yx-1=0, сделаем замену переменных:

, тогда   

(x’cosα - y’sinα)(x’sinα + y’cosα)-1 = 0,  

x’²cos²α - y’²cosαsinα + x’y’(cos²α - sin²α) – 1 = 0,  

(cos²α - sin²α) = 0      

.     

Совершенно  аналогично, каноническое уравнение  для гиперболы

 будет иметь вид:   или  .  

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.Кривые 2-го порядка со смещенными центрами (вершинами)  

Если  в общем уравнении кривой 2-го порядка

,в частности  В = 0, то есть отсутствует член с произведением переменных, то это означает, что оси кривой параллельны координатным. Рассмотрим уравнение:

( A и C   одновременно). Можно показать, что при этом:   

1) Если  АС > 0 (коэффициенты при квадратах  переменных одного знака), то уравнение  определяет эллипс;   

2) Если  АС < 0 (коэффициенты при квадратах  переменных имеют разные знаки), то  уравнение определяет гиперболу;   

3) Если  АС = 0 (один из членов с квадратом  переменных отсутствует), то этим  уравнением определяется парабола.

В каждом из случаев 1), 2), 3) могут встретиться вырожденные кривые, которыми мы заниматься не будем.   

Для того, чтобы понять, как именно расположена кривая относительно системы координат и каковы ее параметры, уравнение можно преобразовать способом выделения полных квадратов. После этого уравнение примет вид одного из невырожденных уравнений кривой 2-го порядка со смещенным центром:

1) 

это уравнение  эллипса с центром   и осями, параллельными осям   и  ;

2)   и  ,

эти уравнения  определяют гиперболы с центром   и осями, параллельными координатным;

3) 

это параболы с вершиной    и осью, параллельной одной из координатных.    

       

Пример: Определить вид кривой, найти ее центр (вершину) и вычислить основные параметры:      

Так как А=9,  С= - 4,  т.е. АС<0,   то это уравнение определяет гиперболу. Преобразуем уравнение. Объединяем члены с одной переменной, коэффициент при квадрате выносим за скобку:

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

Лишние  свободные члены из скобок убираем  и переносим вправо, тождественно преобразуя левую часть:

 или  

Делим на (-36):       получили гиперболу с центром  , полуосями a=2, b=3, осями параллельными координатным.

Действительная  ось гиперболы параллельна оси  : x= -1:

мнимая  – параллельна оси  : y=2;   . 

     
 

7.Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 

   

Сечением  любого круглого конуса плоскостью (не проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может быть лишь эллипсом, гиперболой или параболой. При этом, если плоскость пересекает только одну полость конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс; если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая – парабола; если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении образуется гипербола.     

Справедливость  этой теоремы можно установить, исходя из того общего положения, что пересечение поверхности второго порядка плоскостью есть линия второго порядка.     

Из рисунка  видно, что, поворачивая секущую  плоскость вокруг прямой PQ, мы меняем кривую сечения. Будучи, например, первоначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секущая плоскость параллельна касательной плоскости конуса.     

Таким образом, эллипсы, гиперболы и параболы называются коническими сечениями.

 

8.Список использованных источников: 

• Корн  Г., Корн Т. Кривые второго  порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е  издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.
• Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.
• В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.
• Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.- Мн.: Тетрасистемс, 1998.
• Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.- Мн.: ЧИУиП, 2006.- 67 с.