Контрольная работа по "Высшей математике"

а)    б)

в)    г)

 

 

Решение

 

Сделаем подстановку Тогда

, памятуя что получаем

Ответ:

б)

Решение данной задачи основано на формуле  интегрирования по частям по формуле: (1)

В этой формуле  принимаем за u функцию x и du=dx. Тогда и (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем). Подставим найденные u',v', u_,v' в формулу интегрирования по частям b используя получаем:

 

Ответ:

 

в)

Найдем корни  уравнения  . Так как корнями уравнения является х₁=-7 и х₂=5, то по формуле ах²+bх+с=а(х+7)(x—5), знаменатель раскладываются на множители

.

Представим  дробь в виде следующей суммы:

и найдём коэффициенты А и В. Приведём дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

 

 

Приравняв числители, получим

Подставляя  в последнее равенство х = 5, находим, что

5 = А(5 – 5) +B(5+7) ↔ 5 = B • (12) ↔ B= 5/12.

Подставляя  х=-7 в равенство (2), находим, что

-7 = A(-7–5) +B(-7+7) ↔ -7=A • (-12) ↔ А = 7/12.

Таким образом,

 

Итак,

 

Ответ:

 

г)

Напомним, что  в том случае, когда дискриминант квадратного ах² + bх + с двучлена отрицателен, D=b²—4ас<0, справедливо равенство:

Для вычисления интеграла  найдем дискриминант знаменателя D=18²—4•9•10=324-360=-36<0 и рассмотрим функцию у=9х²-18x+10. Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя у'=(9х²-18x+10)'=18x-18 и заметим, что 18х-3=(18x-18)+15.

Отсюда,

Вычислим  получившиеся интегралы по отдельности.

1)

2)

Подставляя  полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:

Ответ:

 

Задача 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций g(х)=3х+4 и f(х) = -3х²+21x-11. Изобразить эту фигуру на координатной плоскости.

 

Решение

 

Графиком  функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= - 6х+21 и находим координаты вершины параболы С:

 

Графиком  функции g(x)=3x+4 является прямая, проходящая через точки (0;4), (-4/3;0).

Найдём точки  пресечения графиков функции: g(х)=f(x)

-3х²+21x-11= 3x+4 ↔ -3х²+ 18х -15 = 0 ↔ х²- 6х + 5 = 0

Заметим, что  g(1) = f(1) = 7, g(5) = f(5) = 19.

Пусть S — площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х [1;5], то

 

 

Ответ: 32 кв.ед

 

Задача 6.

Исследовать сходимость ряда

 

Решение.

Используем  признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

В нашем случае и . Вычисляем предел:

так как q = ∞ > 1, то ряд расходится.

 

Ответ: Так как q > 1, то ряд расходится.

 

Задача 7.

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

 

Решение.

Каждый степенной  ряд  сходится внутри интервала (с —R; с + R), где R≥0 — радиус сходимости, определяемый по формуле .

 

Определяем радиус сходимости:

Так как с = -2; с–R=–2–1,5=–3,5; с+R==–2+1,5=–0,5, находим интервал сходимости: (–3,5; –0,5).

Исследуем на сходимость в точках x=-3,5 и x=-0,5. При x=-3,5 ряд имеет вид:

При x=-0,5 ряд имеет вид:

.

Поэтому интервал сходится и будет (-3,5;-0,5], R=1,5

Ответ: R = 1,5; (-3,5;-0,5].

 

Использованная литература

1. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.
2. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть 1. М.: изд. МГУК, 1998.
3. Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1982.
4. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.
5. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.
6. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1986.
7. Шипачев B.C. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.