Контрольная работа по "Высшей математике"

федеральное агентство по образованию

ростовский  институт (филиал)

государственного образовательного учреждения высшего профессионального  образования

"российский  государственный торгово-экономический  университет"

 

Кафедра высшей и прикладной математики

 

 

Контрольная работа № 1

 

по дисциплине «Высшая математика»

 

 

Вариант № 0

 

 

Выполнил:  Афонин В.П.

 

студент 2-го курса, группы УТ,

заочной формы  обучения.                                                       

                                                     

Преподаватель:______________  

 

 

 

 

 

Ростов-на-Дону

2006 г.

План работы

План работы 2

Задача 1. 3

Задача 2. 7

Задача 3. 10

Задача 4. 16

Задача 5. 19

Задача 6. 21

Задача 7. 22

Задача 8. 23

Задача 9. 25

Задача10. 25

Использованная литература 27

 

Задача 1.

Вычислить пределы функций  а) - ж):

 

а) ;     б) ;

в) ;            г)

д) ;

е) ;     ж) ;

 

Решение

a)

Мы имеем дело с неопределенностью 0/0. Найдем корни уравнения 

Аналогично для уравнения 

 

Следовательно:

Ответ:

 

б)  Так как _,

Мы имеем дело с неопределенностью  ∞/∞. Вынесем старшую степень  в числителе и знаменателе:

Следовательно:

Ответ:

в)  ,Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость 0/0.

Используем формулу понижения  степени:

Следовательно: С другой стороны  выражение является сопряженным к выражению .

Умножим числитель и знаменатель  дроби на произведение сопряженных  выражений:

где - пкрвый замечательный предел, тогда:

Ответ:

 

г) ;  В данном случаем мы имеем дело с неопределенностью вида  . Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а к выражению соответственно. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений , и используя формулу , получим:

  Ответ:

 

д)

Подстановка числа 6 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределённость 0/0. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Уравнение _{тождественно уравнению} где x₁ и x₂ корни квадратного уравнения Исходя из этого получаем: =

 

_{,аналогично}

 

Таким образом:

 

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

так как функция  непрерывна в точке х=6, подставляем х=6

 

 

Ответ:

 

е)

Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость 0/0. Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

1. Совершим необходимые тождественные, тригонометрические преобразования:

2. Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

_{Снова имеем неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя:}

Ответ:

 

е)

Решение.

замена переменной ; так как =0, то y→0, следовательно:

используем  второй замечательный предел

 

 

Ответ:

 

Задача 2.

Вычислить производные  функции а)-г).

 

а) ;   б)

 

в) у = (sinx) • e^2x• ln(sinx);  г) у =(sinx)^lnx.

 

 

Решение

 

а) ,Используем формулу производной дроби:

_{и формулу производной  степенной функции:}

Ответ:

.б) _,Найдём сначала производную функции , используя формулу производной степенной функции:

Теперь  находим в таблице производных  сложных функций формулу подставляя , получаем

Ответ:

 

в) у = (sinx) • e^2x• ln(sinx);

 

Функция у(х) представляет собой произведение трёх функций u(х)= (sinx), v(x)= e^2x и w(x)= ln(sinx). Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

(u·v·w) '=u'·(vw)+u· (vw)'=u'vw+u· (v'·w+v·w')

Следовательно,

(uvw)'=u'· v·w+u·v'·w+u·v·w'

Далее используя формулу производной  сложной функции 

Получаем:

 

Ответ:

 

г) у =(sinx)^lnx

Пользуясь основным логарифмическим тождеством y=e^lny, представим y(x) в виде y(x)=(e^ln(sinx))^lnx . Так как (a^b)^c=a^bc, то  y(x)= e ^{lnx ln(sinx)}. и поэтому

 

В последнем  равенстве мы вновь воспользовались  формулой у =(sinx)^lnx= e ^{lnx ln(sinx)}.

 

Ответ:

 

Задача 3.

а). Исследовать функцию у(х)=2x³ - 9x² + 12x - 5.

 

Решение

 

1). Так как 2x³ - 9x² + 12x - 5— многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся — числовая прямая: D(y)=(–∞;+∞).

 

2). Функция не является ни  чётной ни нечётной, поскольку

y(1)=0; y(–1)=–28; у(–1)≠у(1); y(1)≠y(-1).

 

3). Заметим,  что при х→+∞ и при х→–∞  поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена 2х³, который неограниченно возрастает при х→+∞ и неограниченно убывает при х→–∞. Поэтому

y(x)= +∞,   l y(x)=–∞,

Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот.

 

4). у(0) = -5 → A(0; -5) — точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения  точек пересечения графика с  осью Оx решим уравнение

у(х)=0 ↔ 2x³ - 9x² + 12x - 5=0  ↔ x•(2х² + 15x + 24) = 0;

Методом подбора  определяем корень уравнения х₁=1.

Разделим  многочлен на многочлен  x -1

 2x³ - 9x² + 12x – 5  x -1

 2x³ - 2x²   2x² - 7x + 5

      - 7x² +12х

      - 7x² +7х

       5x – 5

       5x – 5

      0

 

2x² - 7x + 5= 0,

D=b²–4ac=-7²–4•2•5=49- 40=9

 

Точки пересечения  с осью Ох: B(1;0), С(5/2;0),

 

5). Находим  локальные экстремумы, а также  промежутки возрастания и убывания  функции. Для этого вычисляем  производную функции у(х):

у'(х)=(2x³ - 9x² + 12x - 5)´,

у'(х)=6x² - 18x + 12 ,

у'(х)=x² - 3x + 2 ,

и решаем уравнение  у'(х)=0:

x² - 3x + 2 = 0, критические точки х₁= 1, x₂= 2.

Так как производная  не имеет точек разрыва, других критических  точек нет. Определяем знак производной  справа и слева от каждой критической  точки и составляем таблицу:

 

x	(–∞;1)	1	(1;2)	2	(2; +∞)
y'	+	0	–	0	+
y		Максимум		Минимум

 

Итак, функция  возрастает при х [–∞; 1] и при х [2; +∞] и убывает при х [1; 2]; локальный минимум — у(2)=–1, локальный максимум — у(1)=0.

 

6). Используя  пункт 3), получаем, что множество  значений функции Е(y) — вся числовая прямая, Е(у) = (—∞; +∞).

 

7). Находим  точки перегиба функции и устанавливаем  промежутки, на которых график  функции обращен выпуклостью  вверх и вниз. Для этого, прежде  всего, вычисляем производную  второго порядка и приравниваем  её к нулю:

у''(х)= (у'(х))'=(x² - 3x + 2)'=2х-3

у"(х)=0 ↔ 2х - 3= 0 ↔ х=3/2=1,5.

Для определения  знаков второй производной подставляем  в неё числа из промежутков  и :  у"(0)=–3; у"(2)=1.

 

 

x	(–∞; )		( ; +∞;)
y''	–	0	–
y	Выпуклость вверх	Перегиб	Выпуклость вниз

 

Теперь необходимо найти значение функции в точке  перегиба и определить угол наклона  касательной к графику функции  в этой точке:  
у(1,5)=-0,5, тангенс угла наклона равен значению производной в данной точке у'(1,5)=tgα=1,5. Следовательно, касательная к графику проходит через точки D(1,5; -0,5) Е(3,5;-3,5). Проводим через точки D и E прямую (DE). График функции у(х) должен касаться прямой (DE) в точке D.

8). На этом  исследование функции закончено  и остаётся лишь вычислить  её значения в некотором числе  точек, достаточном для построения  графика, и построить график.

 

б). Исследовать функцию .

 

Решение

 

1). Так как  D 2(х - 6)² = R и D( )=М, то функция g(х) определена и непрерывна на

всей числовой прямой.

2). Функция не является ни  чётной ни нечётной, поскольку 

g(1)= ;

g(-1) = и g(–1)≠g(1)

3)

Следовательно, nак как функция g(х) определена на всей числовой оси и   функция имеет левую горизонтальную асимптоту y =0.

 

4). Так как  g(0)=2(0-6)²• =72 ≈3,58, то А(0;72 ) — точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения  точек пересечения графика с  осью Ох решим уравнение g(х)=0, т. е. 2•(x-6)²• =0. Так как любая степень числа е положительна, мы можем разделить на 2 обе части уравнения:

(x-6)² = 0; D=144-144=0; x=6.

График функции пересекает ось Ох в точке B(6;0) и в силу своей непрерывности, функция g(х) не меняет своего знака на протяжений всей числовой оси т.к. и 2•(x-6)²>0. Отсюда вытекает, что g(х)>0 для всех действительных чисел x.

5). Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.

 

Для определения критических точек  функции решим уравнение 

g(х)=0 ↔ –(х² + 5х + 4) • е^-1/2(x+3)=0 ↔ х² + 5х + 4 = 0;

критичαеские точки — х₁ = 6, x₂ = 2.

 

x	(–∞;2)	2	(2;6)	6	(6; +∞)
g'	+	0	–	0	+
g		32/e2 Максимум		0 Минимум

Локальный максимум— g(2)= 2•(2-6)²• ≈32/e², локальный минимум —  
g(6)= 2•(6-6)²• =0• =0.

6). Используя  пункты 3) - 5), получаем, что Е(у)=(0;+∞). ´ββ

7). Находим  точки перегиба и промежутки  выпуклости.

  

 

x	(–∞; )	( )	( ; )		( ; +∞)
g'	+	0	–	0	+
g	Выпуклость вниз	Перегиб	Выпуклость вверх	Перегиб	Выпуклость вниз

 

Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона  касательной к графику функции) в точках перегиба:

 Вычислить значение функции в некотором числе промежуточных точек:

 

9). Строим  график функции.

 

Задача 4.

Вычислить неопределённые интегралы а) - г):