Контрольная работа по "Статистической математике"

Вариант № 5 

Контрольная работа № 3 

1) А=  

 

 

 
 

 

2) P=0,0004 

 

 ф-ла Пуассона 

   

 

А).  

Б).

 
 

3) Проверим, соответствует ли задача условиям биноминального эксперимента.

1. Эксперимент может быть описан как последовательность четырех идентичных испытаний – по одному испытанию для каждого из четырех саженцев.
2. Два исхода – саженец прижился (успех) или не прижился (неуспех) – возможны для каждого отдельного испытания.
3. Вероятность прижиться для каждого отдельного саженца равна 0,6, вероятность гибели равна 0,4.
4. Гибель саженца не зависит от гибели других саженцев.

       Следовательно случайная величина распределена по биноминальному закону. Параметры распределения  n =4, p = 0,6, q = 0,4.

       Закон распределения

Р(Х = т) =

0,6^m0,4^4-m

т =0, 1, 2, 3, 4. 

       Математическое  ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, равно произведению числа испытаний n на постоянную вероятность успеха p в каждом отдельном испытании

М(Х)=пр = 4*0,6 = 2,4

а ее дисперсия

D(X)=npq = 4*0,6*0,4 = 0,096

       Среднее квадратическое отклонение

s(Х) =

= = 0,310

       Функция распределения

F(x) =

 
 

       4) Находи p_i из условия =1, имеем 0,3+ p₂ = 1, получаем p₂ = 0,7. Аналогично =1, имеем 0,1 + 0,4 + p₃ = 1, получаем p₃ = 0,5.

       Окончательно: 

 
 

       Запишем закон распределения случайной  величины 2X.

 

       Закон распределения случайной величины Y+3.

 

       Для удобства нахождения всех значений Z = 2X(Y+3) и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения Z=2X(Y+3), а в правом углу - вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин X и Y.

 

       В результате получим распределение

 

       Убеждаемся  в том, что условие  =1 выполнено. 

       Вычислим  математические ожидания случайных  величин.

        =-1×0,3 +4×0,7 = 2,5

       M(Y) = -2×0,3 + 0×0.4+4×0,7 = 1,3

       M(Z) = -2×0,3 + 0×0.4+4×0,7 = 21,5

       Проверяем свойство M[2X(Y+3)] = 2 M(X) M(Y) + 6M(X)

       21,5 = 2×2,5×1,3 + 6×2,5. Получили верное равенство. 
 

5) а) При x£0,

F(x) = =0,

при 0<x£2

F(x) = + =0+ = ,

При x>2

F(x) = + + =0+ +0 = 1.

Окончательно  получаем

F(x) =

б) Математическое ожидание

M(X) = = = = .

Дисперсия

D(X) = M(X²) - (M(X))²

M(X²) = = = =2.

D(X) = 2- =

в) Вероятность  P(0<X<1) = F(1) – F(0) = - 0 = .

График функции  распределения.

График функции  плотности вероятности 

 
 

По формуле  P(X>A)£ , получаем P(X>6)£ = .

P(X£A)³1- , P(X£ )³1- = .

Определяем те же вероятности с помощью функции  распределения.

P(X>6)=1 – F(6) = 1 – 1 = 0

P(X£ ) = = .

Полученные  результаты не противоречат оценке, найденной  с помощью неравенства Маркова. Различие результатов объясняется  тем, что неравенство Маркова  дает лишь верхнюю или нижнюю границы  оценки вероятности искомого события для любой случайной величины, а функция распределения позволяет точно найти значение вероятности.

 

Контрольная работа № 4 
 

       1) Находим статистические характеристики ряда 

 

       Среднюю арифметическую вариационного ряда 

= = 5,78

       Дисперсию

s² =

= = 8,4716

       а) Имеем N = 2000, п = 100, т = 10 + 19 + 24 = 53 студента имеющих стаж работы менее шести лет. Выборочная доля таки студентов

w =

= = 0,53.

       Найдем  среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки для доли:

s'_w =

= = 0,04864.

       Теперь  находим искомую доверительную вероятность:

P(|w - p|£0,05) = Ф

= Ф(1,03) =0,6970

т.е. вероятность  того, что выборочная доля будет  отличаться от генеральной доли не более чем на 0,05 (по абсолютной величине), равна 0,6970.

       б) Имеем N = 2000, п = 100, = 5,78, s² = 8,4716.

       Найдем  среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки для средней:

» = = 0,2837

       Найдем  предельную ошибку бесповторной выборки  по формуле

D=t

 ,

в которой  t=2,97 (находим из условия, что Ф(t) = 0,997).

D= 2,57×0,2837 =0,843

       Искомый доверительный интервал

-D£ £ +D

5,78 - 0,843£

£5,78 + 0,843

4,937£

£ 6,623

       в) Учитывая, что Ф(t) = 0,9898 и t=2,57, Найдем объем бесповторной выборки