Контрольная работа по "Математике"

 

Решение:

а) постройте гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения:

Перейдем к интервальному ряду. Количество интервалов определим по формуле Стерджесса:

Интервал	-21,90; -11,1	-11,1; -0,3	-0,3; 10,5	10,5; 21,3	21,3; 32,1	32,1; 42,9
Середина интервала	-16,5	-5,7	5,1	15,9	26,7	37,5
Частота	3	9	11	3	1	3

 

 

 

 

 

Гистограмма:

Полигон:

Выборочная функция  распределения:

 

 

б) вычислите выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии);

в) оцените методом  моментов или/и методом максимального  правдоподобия по выборке параметры  основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических  распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим;

На основании значений коэффициента асимметрии и эксцесса данная выборка ближе всего к  нормальному распределению с  параметрами 4,74 и 213,71.

Метод максимального правдоподобия для нормального распределения: среднее 4,74 и дисперсия 213,71/29*30=221,08.

г) предположив, что выборка  получена из нормального распределения, протестируйте гипотезы равенства  среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной.

Если дисперсия неизвестна:

.

Для уровня значимости 0,95 и выборки размера 30 критическое  значение равно 2,045, оно больше расчетного, тогда гипотезу о равенстве 0 среднего отвергаем.

 

Если дисперсия неизвестна:

.

Для уровня значимости 0,95 и выборки критическое значение равно 1,96, оно больше расчетного, тогда  гипотезу о равенстве 0 среднего также  отвергаем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

По выборкам X_i, Y_i выполните следующие вычисления:

а) найдите выборочную о вариацию и выборочный коэффициент  корреляции;

б) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0};

в) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

г) в пунктах (б), (в) найдите  и сравните коэффициенты R²;

д) в пунктах (б), (в) протестируйте  близость эмпирического распределения  остатков моделей к нормальному;

е) каково ожидаемое значение с.в. Y, если известно значение с.в. X? Каков доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений Xi и сравните с выборочными значениями Y_i.

№ п/п
1	-6,02	-40,97
2	-4,08	-27,78
3	-1,76	-11,98
4	-9,95	-67,72
5	0	0
6	0,71	4,83
7	15,11	102,85
8	-1,09	-7,42
9	4,34	29,54
10	-14,46	-98,43
11	0,2	1,36
12	-6,15	-41,87
13	23,84	162,27
14	9,62	65,48
15	0,17	1,16
16	37,77	257,1
17	32,99	224,56
18	42,85	291,67
19	6,82	46,42
20	-5,55	-37,78
21	1,78	12,11
22	-5,82	-39,61
23	8	54,46
24	12,05	82,02
25	13,91	94,68
26	-19,53	-132,9
27	0,33	2,25
28	-21,91	-149,1
29	-2,31	-15,72
30	-0,05	-0,35

 

Решение:

а) найдите выборочную ковариацию и выборочный коэффициент  корреляции:

.

Составим расчетную  таблицу:

№ п/п
1	-6,02	-40,97	36,2404	1678,54	246,639
2	-4,08	-27,78	16,6464	771,728	113,342
3	-1,76	-11,98	3,0976	143,52	21,0848
4	-9,95	-67,72	99,0025	4586	673,814
5	0	0	0	0	0
6	0,71	4,83	0,5041	23,3289	3,4293
7	15,11	102,85	228,312	10578,1	1554,06
8	-1,09	-7,42	1,1881	55,0564	8,0878
9	4,34	29,54	18,8356	872,612	128,204
10	-14,46	-98,43	209,092	9688,46	1423,3
11	0,2	1,36	0,04	1,8496	0,272
12	-6,15	-41,87	37,8225	1753,1	257,501
13	23,84	162,27	568,346	26331,6	3868,52
14	9,62	65,48	92,5444	4287,63	629,918
15	0,17	1,16	0,0289	1,3456	0,1972
16	37,77	257,1	1426,57	66100,4	9710,67
17	32,99	224,56	1088,34	50427,2	7408,23
18	42,85	291,67	1836,12	85071,4	12498,1
19	6,82	46,42	46,5124	2154,82	316,584
20	-5,55	-37,78	30,8025	1427,33	209,679
21	1,78	12,11	3,1684	146,652	21,5558
22	-5,82	-39,61	33,8724	1568,95	230,53
23	8	54,46	64	2965,89	435,68
24	12,05	82,02	145,203	6727,28	988,341
25	13,91	94,68	193,488	8964,3	1317
26	-19,53	-132,9	381,421	17662,4	2595,54
27	0,33	2,25	0,1089	5,0625	0,7425
28	-21,91	-149,1	480,048	22230,8	3266,78
29	-2,31	-15,72	5,3361	247,118	36,3132
30	-0,05	-0,35	0,0025	0,1225	0,0175
Сумма	111,81	761,13	7046,7	326473	47964,1
Среднее	3,727	25,371	234,89	10882,4	1598,8

б) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели X=aY+b, протестируйте гипотезу {a=0}:

Применяя средство MS Excel Анализ данных, получим:

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Значе-ние	Нижние 95%	Верхние 95%
Х-пересечение	0,0030	0,0019	1,5694	0,1278	-0,0009	0,0068
Переменная У	6,8066	0,0001	55317,0864	0,0000	6,8063	6,8068

Видим, что доверительный  интервал для свободное члена  содержит и положительные, и отрицательные  значения. Тогда он не значим.

в) методом наименьших квадратов оцените параметры  модели Y=kX+d, протестируйте гипотезу {k=0};

Применяя средство MS Excel Анализ данных, получим:

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Значе-ние	Нижние 95%	Верхние 95%
У-пересечение	-0,0004	0,0003	-1,5692	0,1278	-0,0010	0,0001
Переменная Х	0,1469	0,0000	55317,0864	0,0000	0,1469	0,1469

Видим, что доверительный  интервал для свободное члена  содержит и положительные, и отрицательные  значения. Тогда он не значим.

г) в пунктах (б), (в) найдите  и сравните коэффициенты R²;

В обоих случаях коэффициент  детерминации равен 1

д) в пунктах (б), (в) протестируйте  близость эмпирического распределения  остатков моделей к нормальному:

По полигонам частот можно предположить наличие нормального  распределения для остатков.

е) каково ожидаемое значение с.в. Y, если известно значение с.в. X? Каков  доверительный интервал для Y в этом случае? Постройте график этих зависимостей для выборочных значений Xi и сравните с выборочными значениями Y_i.

Если известно Х, то .

Все-таки по заданию надо сделать вычисления. Естественно, такие факториалы никто  вычислять не будет… Есть способ обойти этот момент.

 

Обратите внимание, что это курсовая работа, т.е. не обязательно использовать формулы только комбинаторики, чтобы  решать комбинаторные задачи.

См  замечание выше

См  замечание выше

См  замечание выше

Нет ответа?

Не  понятно. Описать условное распределение, значит указать, какое распределение  возникает у величины при данном значении (интервале или т.п.) величины-условия.

1. Средний срок службы одной  лампы – это не событие. Это  величина.
2. Средний срок службы N ламп – это суммарный срок службы этих ламп, деленый на N

См. выше.

Срок службы N ламп – это суммарный срок их службы.

 

У меня горит дома лампа, и в коробке  лежат еще две запасных. Что  такое срок службы этих трех ламп? А  средний срок службы? И это никак  не события…

Не  понятно. V_1 = 0, потом снова V_1, но уже не ноль

Надо  бы выписать функцию правдоподобия  и показать, как такие оценки получаются