Контрольная работа по "Математике"

 

 

 

 

Часть I: Теория вероятностей и математическая статистика (решение задач)

 

Задача 1

В партии из 107000 деталей  ровно 6527 бракованных. Дайте ответы на следующие вопросы (запишите формулы  и сделайте вычисления с подробными объяснениями):

а) какова вероятность того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной?

б) какова вероятность  того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется НЕ бракованной?

в) какова вероятность  того, что из 805 случайно выбранных  из партии деталей ровно 38 окажется бракованными?

г) какова вероятность  того, что из 677 случайно выбранных  из партии деталей не более 7 окажется бракованными?

д) какова вероятность  того, что из 285 случайно выбранных  из партии деталей не менее 10 окажется НЕ бракованными?

е) из партии выбрано случайно 649 деталей, из них 107 оказалось бракованными; какова вероятность, что больше в выборке нет бракованных деталей?

ж) из партии выбрано 1021 деталей, и которых не менее 180 оказалось  бракованными;

з) какова вероятность  того, что в последующей выборке из 426 деталей бракованных окажется не более 10 (предыдущая выборка в партию не возвращается)?

Решение:

а) какова вероятность  того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной:

Пусть событие А состоит  в том, что наудачу выбранная деталь из партии окажется бракованной. Применим классическое определение вероятности. Выбрать одну деталь из 107000 можно способами. Выбрать одну бракованную деталь из 6527 можно способами. Тогда искомая вероятность:

.

б) какова вероятность  того, что наудачу выбранная деталь из партии окажется НЕ бракованной?

Событие «наудачу выбранная  деталь из партии окажется НЕ бракованной» равно  . Тогда

.

в) какова вероятность  того, что из 805 случайно выбранных  из партии деталей ровно 38 окажется бракованными?VP

г) какова вероятность  того, что из 677 случайно выбранных  из партии деталей не более 7 окажется бракованными:VP

д) какова вероятность  того, что из 285 случайно выбранных  из партии деталей не менее 10 окажется НЕ бракованными?VP

е) из партии выбрано случайно 649 деталей, из них 107 оказалось бракованными; какова вероятность, что больше в выборке нет бракованных деталей?VP

ж) из партии выбрано 1021 деталей, и которых не менее 180 оказалось  бракованными;  какова вероятность  того, что в последующей выборке  из 426 деталей бракованных окажется не более 10 (предыдущая выборка в партию не возвращается)?VP

 

 

 

 

Задача 2

«Неправильную» монетку (вероятность выпадения «орла» составляет 0,54) подбрасывают 173 раз. Рассматриваются  следующие величины: x — количество выпавших «орлов», y — количество выпавших «решек», . Ответьте на следующие вопросы об этих случайных величинах:

а) опишите распределения  с.в. x, y, z1, z2, z3; найдите математические ожидания, вторые моменты, дисперсии;

б) опишите условное распределение с.в. x|y;

в) в процессе подбрасывания  на 127-том броске оказалось, что уже  выпало ровно 70 «орлов», какова вероятность  того, что всего выпадет не более 40 решек?

г) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x и y;

д) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин х² и y.

Решение:

а) опишите распределения  с.в. x, y, z1, z2, z3; найдите математические ожидания, вторые моменты, дисперсии:

С.в. х и у являются случайными величинами, распределенными  по биномиальному закону. Для таких  величин математическое ожидание равно , второй момент а дисперсия

Данная величина при  х=173 и у=0 обращается в бесконечность, тогда ее числовые характеристики вычислить нельзя.

б) опишите условное распределение  с.в. x|y:VP

в) в процессе подбрасывания  на 127-том броске оказалось, что уже  выпало ровно 70 «орлов», какова вероятность того, что всего выпадет не более 40 решек?

При 127 бросках выпало 127-70= 57 решек. Тогда вероятность того, что всего при 173 бросках выпадет  не более 40 решек равна 0.

г) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин x и y:

д) найдите ковариацию и коэффициент корреляции величин  х² и y.

 

 

Задача 3

Срок службы электрической  лампы имеет показательное распределение  с математическим ожиданием 95 часов. Ответьте на следующие вопросы:

а) какова вероятность  того, что лампа прослужит от 88 до 131 часов?

б) какова вероятность  того, что прослужившая уже 96 часов лампа прослужит еще не менее 96 часов?

в) какова вероятность  того, что средний срок службы для 840 ламп составит не менее 89 часов?

г) какова вероятность  того, что для 750 ламп срок службы составит от 82  до 128 часов?

Решение:

Плотность распределения величины X(срок службы электрической лампы) имеет вид:

Функция распределения:

Тогда

а) ;

б)

в) Найдем вероятность  того, что средний срок службы для  одной лампы составит не менее 89 часов:

.

Срок службы разных ламп события независимые. Тогда средний срок службы 840 ламп будет характеризоваться как среднее биномиального распределения, т.е. искомое значение равно 840*0,396=332,6VP

г) Вероятность того, что для одной лампы срок службы составит от 82  до 128 часов:

.

Выход из строя разных ламп события независимые, тогда  искомая вероятность равна  VP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

Рассмотрите случайную  выборку X_i из некоторого известного распределения и ответьте на следующие вопросы:

а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(–1;A)

б) найдите оценку методом  моментов параметра B, если известно, что  выборка сделана из равномерного распределения U(-B;B)

в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(c; C);

г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения;

д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(m, 1);

е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(M, S);

ж) постройте гистограмму  и полигон по выборке, количество интервалов — 4;

X_i: -0,792 -0,353 -0,923 -0,584 -0,075 0,035 0,407 0,574 -0,106 -0,299

Решение:

а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(–1;A):

б) найдите оценку методом  моментов параметра B, если известно, что  выборка сделана из равномерного распределения U(-B;B) :

VP

в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(c; C);

.

г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения:

Плотность распределения  величин, распределенных экспоненциально, равна нулю при отрицательных  значениях аргумента. В рассматриваемой  выборке встречаются отрицательные величины, значит, выборка не может быть сделана из экспоненциального распределения.

При попытке же найти оценку параметра  λ, например, методом максимального  правдоподобия, получаем, что функция  правдоподобия L(X, λ) равна нулю, а  следовательно, не имеет максимумов.

Отбросим отрицательные элементы из выборки и оценим параметр  λ.

1) Оценка метода моментов: первый  начальный момент для экспоненциального  распределения .

2) Составим функцию правдоподобия:

Вывод. Оценки параметра  экспоненциального распределения  методом моментов и методом максимального  правдоподобия получились одинаковыми.

 

д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(m, 1);

.

е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана  из нормального распределения N(M, S):

Применяя метод максимального  правдоподобия можно получить оценки:

ж) постройте гистограмму  и полигон по выборке, количество интервалов — 4:

;

Получим интервальный ряд:

Интервал	-0,923; -0,549	-0,549; -0,175	-0,175; 0,199	0,199; 0,574
Частота	3	2	3	2

Гистограмма:

Полигон:

 

Часть II: Математическая статистика (практикум)

Задание 1

По данной выборке X_i выполните следующие вычисления:

а) постройте гистограмму, полигон, выборочную функцию распределения;

б) вычислите выборочные моменты и связанные величины (первый, второй, третий, дисперсию, СКО, эксцесс и коэффициент асимметрии);

в) оцените методом  моментов или/и методом максимального  правдоподобия по выборке параметры  основных непрерывных распределений (равномерное, экспоненциальное, нормальное и пр.), оцените близость оценок теоретических распределений к выборочному; подберите качественное описание выборочного распределения теоретическим;

г) предположив, что выборка  получена из нормального распределения, протестируйте гипотезы равенства среднего нулю при неизвестной дисперсии; равенства среднего нулю при дисперсии, равной выборочной.

№ п/п
1	-6,02
2	-4,08
3	-1,76
4	-9,95
5	0
6	0,71
7	15,11
8	-1,09
9	4,34
10	-14,46
11	0,2
12	-6,15
13	23,84
14	9,62
15	0,17
16	37,77
17	32,99
18	42,85
19	6,82
20	-5,55
21	1,78
22	-5,82
23	8
24	12,05
25	13,91
26	-19,53
27	0,33
28	-21,91
29	-2,31
30	-0,05