Контрольная работа по "Математике"

Аналогично получим:  . Ч.Т.Д.

 

 

 

Вопрос №29. Приведите пример постановки транспортной задачи. Что такое оптимальный план перевозок? Что такое транспортная задача с правильным балансом? Сформулируйте критерий разрешимости транспортной задачи.

1) Классическая постановка транспортной задачи общего вида.  
Имеется m пунктов отправления («поставщиков») и n пунктов потребления («потребителей») некоторого одинакового товара. Для каждого пункта определены:  
a_i – объемы производства i -го поставщика, i = 1, …, m;  
в_j – спрос j-го потребителя, j= 1,…,n;  
с_ij – стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта A_i– i-го поставщика, в пункт В_j – j-го потребителя.

Требуется найти план перевозок, при котором бы полностью  удовлетворялся спрос всех потребителей, при этом хватало бы запасов поставщиков  и суммарные транспортные расходы  были бы минимальными.  
2) Оптимальный план перевозок -  такой план перевозок,  который определяет минимальную суммарную стоимость транспортировки, не превышая объем производства каждого из поставщиков и полностью покрывая потребности каждого из потребителей.

3) Транспортная задача с правильным балансом.

Теорема: если допустимое решение Х=(х_ij)*(i= , j= ) транспортной задачи является оптимальным, то существует потенциалы поставщиков u_i (i= ) и потребителей v_j(j= ). Удовлетворяющее условиям: 1)  u_i+v_j=c_ij, если x_ij>0; 2)  u_i+v_j ≤c_ij, если x_ij=0.

Общее кол-во товара у поставщиков:

Общая потребность в  товаре в пунктах назначения:  
 
Если суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.  
то такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель — закрытой.

4) Критерий разрешимости транспортной задачи:

Транспортная задача разрешима только, если она имеет  правильный баланс.

 

№30. Опишите методы построения начального опорного плана транспортной задачи.

1) Метод северо-западного угла

Сущность способа заключается  в том, что на каждом шаге заполняется  левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально  возможным числом: либо полностью  выносится груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Вj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы аi и не удовлетворятся все потребности bj. В заключении проверяют, что найденные компоненты плана Хij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям.

2)Метод минимального  тарифа

Начальный опорный план находят, заполняя не более чем m+n-1 клеток (по числу базисных переменных). Любое  допустимое решение транспортной задачи можно записать в транспортную таблицу. Клетки транспортной таблицы, в которых находятся отличные от нуля (или базисные нулевые) перевозки, называются занятыми, остальные свободными. Клетки таблицы нумеруются так, что клетка, содержащая перевозку x_ij, т.е. стоящая в i-строке и j- столбце, имеет номер (i,j). Каждой клетке с номером (i,j) соответствует переменная x_ij. Выбор заполняемых клеток производят, ориентируясь на тарифы перевозок, а именно: на каждом шаге выбирают какую-нибудь клетку (i,j), отвечающую минимальному тарифу и помещают в нее максимально возможную перевозку x_ij. После чего удаляют либо столбец, либо строку в зависимости от соотношения x_ij=b_j или x_ij=a_i.

№31. Опишите метод потенциалов. Сформулируйте определения следующих понятий: свободная клетка, занятая клетка, оценка свободной клетки, цикл, перестановка по циклу. В чем состоит условие оптимальности опорного плана?

1. Метод потенциалов.

Метод потенциалов основан  на следующей теореме.

Если допустимое решение  Х=( x_ij) (i= , j= ) транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенциалы поставщиков u_i(i= ) и потребителей v_j (j= ), удовлетворяющие условиям:

u_i+ v_j=с_ij, если  x_ij>0,

u_i+ vj<либо =с_ij, если x_ij=0.

Равенства u_i+ v_j=с_ij при x_ij>0 используются для нахождения потенциалов. Данная система уравнений имеет m+n неизвестных u_i,i= и v_j, j= . Число уравнений системы, как и число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения, равно m+n-1. Так как число неизвестных системы на единицу больше числа уравнений, то одно из них можно задать произвольно ( как правило, его берут нулевым), а остальные найти из системы.

Неравенства u_i+ vj<либо =с_ij при x_ij=0 используются для проверки оптимального опорного решения. Эти неравенства удобно записать в виде _ij=u_i+v_j-c_ij при x_ij=0.

Числа _ij по-прежнему будем называть оценками свободных клеток таблицы, не входящих в базис опорного решения. В это случае признак оптимальности можно сформулировать так же, как в симплекс-методе (для задачи на минимум): опорное решение является оптимальным, если для всех клеток таблицы оценки неположительные.

2. Клетки транспортной таблицы, в которых находятся отличные от нуля(или базисные нулевые) перевозки, называются занятыми, остальные – свободными.

Оценка свободной  клетки – (см.  метод потенциалов)

Цикл – такая последовательность клеток транспортной таблицы (i₁,j₁), (i₁,j₂), (i₂,j₂),…(i_k,j₁), в которой две и только две соседние клетки расположены в одной строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке или столбце.

(?)Перестановка  по циклу -  (сдвиг по циклу  на величину t)- увеличение объемов во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на t и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на t.

3. Условие оптимальности опорного плана.

Оптимальный план должен определять минимальную суммарную  стоимость транспортировки, не превышая объем производства каждого из поставщиков  и полностью покрывая потребности  каждого из потребителей.

Оптимальный план перевозки  соответствует минимуму линейной целевой функции f(X)= min при ограничениях на потребление и поставку

 

 

№ 32. Сформулируйте определение разностного уравнения порядка k и его общего решения. Сформулируйте определение линейного разностного уравнения порядка k с постоянными коэффициентами. Сформулируйте теоремы об общем решении однородного и неоднородного линейного разностного уравнения (без доказательства).

Уравнение вида F(n; x_n; x_n+1;…; x_n+k) = 0, где k – фиксированное, а n – произвольное натуральное число, x_n; x_n+1;…; x_n+k – члены некоторой неизвестной числовой последовательности, называется разностным уравнением порядка k.

Решить разностное уравнение  означает найти все последовательности (x_n), удовлетворяющие этому уравнению.

Общим решением уравнения k-го порядка называется его решение x_n = φ(n, C₁, C₂, …, C_k), зависящее от k независимых произвольных постоянных C₁, C₂, …, C_k. Количество k постоянных равно порядку разностного уравнения, а независимость означает, что ни одну из постоянных нельзя выразить через другие.

Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка k с постоянными коэффициентами:

a_kx_n+k + a_k-1x_n+k-1 + … + a₁x_n+1 + a₀x_n = f_n, где a_i R (a_k ≠ 0, a₀ ≠ 0) и

{f_n} – заданные числа и последовательность.

Теорема об общем решении неоднородного уравнения.

Общее решение x_n линейного неоднородного разностного уравнения является суммой частного решения x_n^* этого уравнения и общего решения _n соответствующего ему однородного уравнения.

Теорема об общем  решении однородного уравнения.

Пусть x_n¹,…, x_n^k – система, состоящая из k линейно независимых решений линейного однородного разностного уравнения. Тогда общее решение этого уравнения задается формулой: x_n = C₁x_n¹ + … + C_kx_n^k.

№ 33. Опишите алгоритм решения однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Сформулируйте определения следующих понятий: фундаментальный набор решений линейного разностного уравнения, характеристическое уравнение, определитель Казоратти.

Знание корней характеристического уравнения позволяет построить общее решение однородного разностного уравнения. Рассмотрим это на примере уравнения второго порядка:

Полученные в результате решения могут быть без труда  перенесены на случай уравнений более  высокого порядка.

В зависимости от значений дискриминанта D=b²-4ac характеристического уравнения возможны следующие случаи:

1. – корни х. уравнения, тогда общее решение уравнения имеет вид ;
2. - корень х. уравнения, тогда общее решения уравнения имеет вид ;
3. корни комплексные , где r – модуль λ₁, а - его аргумент. Общее решение уравнения имеет вид .

C₁,C₂ – произвольные постоянные.

Множество решений линейного однородного разностного уравнения k-ого порядка образует k-мерное линейное пространство, а любой набор из k линейно независимых решений (называемый фундаментальным набором) является его базисом. Признаком линейной независимости решений однородного уравнения является неравенство нулю определителя Казоратти:

Уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного уравнения.

№ 34. Дано линейное разностное уравнение  с постоянными коэффициентами X_n+2 – 4x_n+1 + 3x_n = n²2ⁿ + n³3ⁿ.

В каком виде нужно искать его частное решение?

X_n+2-4x_n+1+3x_n=n²2ⁿ+n³3ⁿ В каком виде нужно искать его частное решение? Ответ должен быть объяснен.

X_n+2-4x_n+1+3x_n=n²2ⁿ+n³3ⁿ

X_n+2-4x_n+1+3x_n=0

X_n=Cqⁿ

Q²-4Q+3=0

Q₁=3 Q₂=1

X_n=C₁3ⁿ+C₂1ⁿ

X¹_n=(a₁n²+b₁n+C₁)2ⁿ

X²_n=(d₂n³+a₂n²+b₂n+C₂)n2ⁿ

X_n= C₁3ⁿ+C₂1ⁿ+ X¹_n+ X²_n

 

№35. Дано линейное разностное уравнение  с постоянными  коэффициентами x_n+2-4x_n+1+3x_n=n²+2ⁿ+3ⁿ . В каком виде искать его частное решение?

x_n+2-4x_n+1+3x_n=n²+2ⁿ+3ⁿ

1) x_n+2-4x_n+1+3x=0

λ²-4 λ+3=0

λ₁=3, λ₂=1

x_n^o=C₁(3)ⁿ+C₂(1)ⁿ= C₁(3)ⁿ+C₂

2) f(n)=2ⁿ, g(n)=3ⁿ, z(n)=n²

Так как основание  показательной степени f(n)=2ⁿ, равное 2, не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, соответствующее частное решение ищем в виде Y_n=C(2)ⁿ. Так как основание показательной функции g(n)=3ⁿ, равное 3, совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то соответствующее частное решение ищем в виде X_n=Bn(3)ⁿ. Так как z(n)=n² представляет собой многочлен, то и частное решение будем искать в виде многочлена: Z_n=A₁n²+A₂n+A₃.

 

№36. Дано линейное разностное уравнение  с постоянными  коэффициентами x_n+2+2x_n+1+4x_n=cos +3ⁿ+n² .

x_n+2+2x_n+1+4x_n=cos +3ⁿ+n²

1) x_n+2+2x_n+1+4x_n=0

λ²+2 λ+4=0

λ₁=-1+i , λ₂=-1-i

|-1-i |=2

cosΘ = -0,5; sinΘ= ; Θ=

X_n⁰=(2)ⁿ(C₁cos +C₂sin )

2) f(n)=3ⁿ, g(n)=n², z(n)=cos

Так как основание  показательной степени f(n)=3ⁿ, равное 3, не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, соответствующее частное решение ищем в виде Y_n=B(3)ⁿ. Так как g(n)=n² представляет собой многочлен, то и частное решение будем искать в виде многочлена: X_n=A₁n²+A₂n+A_3.  Z_n= Ccos

№37. Дано линейное разностное уравнение  с постоянными  коэффициентами x_n+2+2x_n+1+4x_n= cos +3ⁿ+n² .

 x_n+2+2x_n+1+4x_n= cos +3ⁿ+n²

λ²+2 λ+4=0

λ₁=-1+i λ₂=-1-i   ; |-1-i |=2

cosΘ= - 0,5 ; sinΘ= ; Θ=

X_n⁰=(2)ⁿ(C₁cos +C₂sin )

2) f(n)=3ⁿ, g(n)=n², z(n)=cos

Так как основание  показательной степени f(n)=3ⁿ, равное 3, не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, соответствующее частное решение ищем в виде Y_n=B(3)ⁿ. Т.к. g(n)=n² представляет собой многочлен, то и частное решение будем искать в виде многочлена: X_n=A₁n²+A₂n+A_3.  Z_n= Cncos

№ 38. Опишите модель Самуэльсона-Хикса. Какие экономические предположения лежат в ее основе? В каком случае решением уравнения Хикса является стационарная последовательность?

Модель делового цикла  Самуэльсона-Хикса предполагает прямую пропорциональность объемов инвестирования приросту национального дохода (принцип  акселерации), т.е.

,

где коэффициент V>0- фактор акселерации,

I_t- величина инвестиций в период t,

X_t-1,X_t-2 - величина национального дохода в периодах (t-1) и (t-2) соответственно.

Предполагается также, что спрос на данном этапе С_t зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе  X_t-1 линейным образом . Условие равенства спроса и предложения имеет вид . Тогда приходим к уравнению Хикса ,

где a,b – коэффициенты линейного выражения спроса на данном этапе:

Стационарная последовательность является решением уравнения Хикса только при ; множитель называется мультипликатором Кейнса (одномерный аналог матрицы полных затрат).

 

№ 39. Опишите паутинную модель рынка. Какие экономические предположения лежат в ее основе? Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка.

Рассмотрим паутинную  модель рынка. При этом предположим, что спрос и предложение задаются линейными функциями, но при этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложение зависит от цены на предыдущем этапе, т.е.

d_t=a-b*p_t  (функция спроса)