Контрольная работа по "Математике"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Математика»

 

Вариант №8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент гр.3ФД-21                                                        Далятшина К.Ф.

 

Проверил: ассистент                                                                     Губайдуллина В.М.

 

 

                                                        

 

 

                                                                   2012 г.

Задание №1

Дано: в каждой из трех урн содержится 1 черный и 4 белый шар. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым. 

Решение:

Обозначим через А событие – из третьей урны извлечен белый шар, тогда получим гипотезы:

В1- из 1-ой урны извлечен белый шар;

B2- из 1-ой урны извлечен  черный шар;

B3- из 2-ой урны извлечен  белый шар;

B4- из 2-ой урны извлечен  черный шар.

1) Поскольку в первой  урне содержится всего 5 шаров,  причем 4 из них белых, то вероятность  события P(B1) = 4/5. Соответственно, вероятность того, что из первой урны будет извлечен черный шар равно: P(B2) = 1/5.

2) Вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен белый шар равно: P1(B3)= 5/6. Вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен черный шар равно: P2(B3)= 4/6.

3) Вероятность события В4 при условии, что из 1-ой урны был извлечен белый шар равна: P1(B4)= 4/6. Вероятность события В4 при условии, при условии, что из 1-ой урны был извлечен черный шар P2(B4)= 2/6.

4)Вероятность того, что  из 3-ой урны будет извлечен  белый шар, при условии, что  и из 1-ой и из 2-ой урн были  извлечены белые шары равна: PB1,B3(А)= 5/6.  Вероятность события А, при условиях В1 и В4 равна: PB1,B4(А)= 4/6. 

Вероятность события А, с учетом того, что из 1-ой урны извлечен черный шар, а из 2-ой урны извлечен белый шар равна: PB2,B3(А)= 5/6. Вероятность события А, при условиях В2 и В4, равна: PB2,B4(А)= 4/6.

 Искомую вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B1) * P1(B3) * PB1,B3(А) + P(B1) * P1(B4) * PB1,B4(А) + P(B2) * P2(B3) * *PB2,B3(А) + P(B2) * P2(B4) * PB2.B4(A) = 4/5 * 5/6 * 5/6 + 4/5 * 1/6 * 4/6 + 1/5 * 4/6 * 5/6 + 1/5 * 2/6 * 4/6 = 4/5 * 10/6 + 4/5 * 5/6 + 1/5 * 9/6 + 1/5 * 6/6 = 0,5

Ответ: 0,5.

 

Задание №2

Имеется три партии деталей по (10+1+4+1=16) деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно (10+1=11),(10+4=14), (10+1=11). Из наудачу взятой партии  наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

Решение.

Обозначим через А – событие, в каждом из трех испытаний была извлечена стандартная деталь.

Можно сделать три предположения (гипотезы):

B1 ­детали извлекались  из первой партии, B2 ­ детали  извлекались из второй партии, B3 ­ детали извлекались из третьей партии.

 

Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности  гипотез равны:

P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3=0.33.

Найдем вероятность того, что из первой партии будут последовательно  извлечены 3 стандартные детали:

P(B1(A)) = 11/16*14/15*10/14 = 0,69*0,93*0,71 = 0,46.

Так же найдем вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены 3 стандартные детали. Так как количество стандартных деталей во второй и в третьей партии равны, то соответственно их вероятности равны:

P(B2(A)) = P(B3(A)) = 10/16*13/15*9/14 = 0,63*0,87*0,64 = 0,35.

Искомая вероятность того, что три извлеченные стандартные  детали взяты из второй партии, найдем по формуле Бейеса:

P(B2(А)) = (P(B2) * P(B2(A)) / (P(B1) * P(B1(A)) + P(B2) * P(B2(A)) + P(B3) * P(B3(A))) = =(0.33 * 0.35) / (0.33 * 0.46 + 0.33 * 0.35 + 0.33 * 0.35) = 0,16 / (0,15+0,12+0,12) = 0,16/ 0,39 = 0,4.

Ответ. 0,4.

 

 

Задание №3

Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

 

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функции;

в) найти математическое ожидание и дисперсию СВ X;

г) определить вероятность  того, что X примет значение, заключенное в интервале (a;b).

Для задачи необходимые параметры  вычисляем по формулам:

=3;  

Решение:

а) Плотность распределения  вероятностей равна первой производной  от функции распределения:

 

б) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:

в) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Поскольку случайная величина X задана плотностью распределения в интервале (3,9), а вне этого интервала f (x ) = 0, то воспользуемся следующей формулой:

Подставив a = 0, b = 1, f (x ) = 2 x/72, получим:

 

Дисперсию случайной величины найдем по формуле:

.

г) Определим вероятность  того, что X примет значение, заключенное  в интервале (3;4).

Вероятность того, что непрерывная  случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), определяется равенством

  , таким образом

Ответ: М(Х)=6,5; D(x)=45; Р(х)=0,34.

 

 

Задание № 4

Дано статистическое распределение  выборки

xi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
ni	3	7	15	17+B+C	40-B-C	13	5

где h_x=0,7C; x₁=0,1В+0,8A, x_i=x₁+(i-1)h_x ,i=.

 

Требуется:

1.Найти методом произведений  выборочные: среднюю дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2.Построить нормальную  кривую.

3.Найти доверительный  интервал для оценки неизвестного  математического ожидания M(X), полагая, что X  имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение _x= и доверительная вероятность .

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим таблицу

	0.32	0.07	0.14	0.21	0.28	0.35	0.42
	3	7	15	22	35	13	5

 

1. Составим расчетную  табл. 1. Для этого:

• запишем варианты в первый столбец;
• запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;
• в качестве ложного нуля С выберем варианту (0.21), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца);
• в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке,  содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем ­1, ­2, ­3, а под нулем 1, 2, 3;
• произведения   частот      на   условные варианты     запишем в четвертый столбец; сложив   эти числа, их сумму (38) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;
• произведения частот на квадраты условных вариант, т.е. n_iu_i² запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего   и   четвертого  столбцов: u_i*u_in_i=n_iu_i²;   сумму   чисел столбца (202) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;
• для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждой строки третьего и пятого столбцов.
•  Для заполнения столбца 7 удобно перемножигь числа каждой строки третьего и шестого столбцов.
• Произведения   запишем   в   восьмой   контрольный столбец; сумму чисел столбца (2970) помещаем в нижнюю клетку восьмого столбца. Столбец 8 служит для контроля вычислений с помощью тождества

В итоге получим расчетную  таблицу 1.

Таблица 1.

1	2	3	4	5	6	7	8
xi	ni	ui	niui	niui2	niui3	niui4	ni(ui+1)4
0.32	3	-3	-9	27	-81	243	48
0.07	7	-2	-14	28	-56	112	7
0.14	15	-1	-15	15	-15	15	0
0.21	22	0	0	0	0	0	22
0.28	35	1	35	35	35	35	560
0.35	13	2	26	52	104	208	1053
0.42	5	3	15	45	135	405	1280
∑	100	0	38	202	122	1018	2970

 

Контроль:

 

Совпадение контрольных  сумм свидетельствует о правильности вычислений.

 

Вычислим условные моменты  первого, второго, третьего и четвертого порядков:

 

 

 

 

Найдем шаг (разность между  любыми двумя соседними вариантами):  h = 0.14-0.07=0.07.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С = 0.21:

 

 

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

 

 

Найдем асимметрию и эксцесс:

 

 

2. Для построения нормальной  кривой найдем ординаты (выравнивающие  частоты) теоретической кривой  по формуле: , .

Затем строим точки в прямоугольной системе координат и соединяем их плавной кривой. Все вычисления запишем в Таблице 2.

  Таблица 2.

xi	ni	xi-	ui		yi
0.32	3	0,0834	9,0652
0.07	7	-0,1666	-18,1087
0.14	15	-0,0966	-10,5000
0.21	22	-0,0266	-2,8913
0.28	35	0,0434	4,7174
0.35	13	0,1134	12,3261
0.42	5	0,1834	19,9348
	n=100				∑yi=200

 

 

 

 

3. Требуется найти доверительный  интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X):

Все величины, кроме t , известны. Найдем t из соотношения:

 

 

Задание №5

Построить на плоскости область  решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции.

Решение.

1. x₁=11-11x₂

x1	0	11
x2	1	0