Контрольная работа по "Математике "

Контрольная работа №2 по математике для экономических  специальностей 

Вариант №7 

Задание№1.

Для изготовления различных изделий А и В  предприятие использует три вида сырья. На производство единицы изделия  А требуется затратить сырья  первого вида 2 кг, сырья второго вида 4 кг, третьего – 4 кг. На производство единицы изделия В соответственно 4, 1 и 3 кг. Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 168 кг, сырьем второго вида в количестве 132 кг и сырьем третьего вида – 156 кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 6 тыс. рублей, изделия В – 8 тыс. рублей. Составить план производства изделий А и В, при котором прибыль от их реализации максимальна. Задачу решить графическим способом. 

Решение: 

По данным задачи составим таблицу: 

Введем  обозначения. Пусть  - количество изделий А, - количество изделий В. Теперь одно конкретное решение предприятия сводится к выбору одного вектора X=(x₁, x₂), для которого доход предприятия равен (6x₁+8x₂) денежных единиц, где 6, 8 цена единицы изделия каждого вида.

Учет  количества единиц сырья приводит к  следующим условиям:

Математическая  модель в целом имеет вид: найти такой вектор X=(x₁, x₂), чтобы максимизировать при выполнении условий:

Решаем  задачу графическим способом. Каждая точка плоскости обозначает план, ограничения описывают множества  допустимых планов.

 

Прямая, перпендикулярная градиенту называется линией уровня. Поскольку задача на нахождение максимального значения, то будем перемещать линию уровня по направлению градиента.

Рассмотрим  точки подозрительные на максимальное значение:

• точка А (точка пересечения (I) и (III) ограничений): , ;
• точка В (точка пересечения (II) и (III) ограничений): , .

Тогда получаем, что оптимальным планом является план в точке A, т.е. план выпуска предприятия составит 12 изделий вида А и 36 изделия вида В. При этом прибыль составит 360 тысяч рублей. 
 
 

 

Задание №2.

Решить транспортную задачу методом потенциалов: 

 

Решение: 

Для данной задачи построим таблицу планирования. 

 

Имеем транспортную задачу, в которой суммарные  запасы превышают суммарные потребности, данная модель транспортной задачи называется открытой.

Открытая  модель решается приведением к закрытой модели. Если суммарные потребности  превышают суммарные запасы, вводится фиктивный производитель, запасы которого . Стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагаем равными нулю, так как груз не перевозится. После преобразования задача принимает вид закрытой модели и решается обычным способ решения транспортных задач.

Этапы решения задачи методом  потенциалов:

• Нахождение первого опорного плана. При этом число заполненных клеток должно быть равно m+n-1.
• Нахождение потенциалов, соответствующих этому опорному плану из уравнений (1) с учетом дополнительных соотношений.
• Определение оценок для всех свободных клеток таблицы планирования. Если среди них нет положительных, то получен оптимальный план транспортной задачи; если же они имеются, то необходимо переходить к новому опорному плану.
• Среди положительных оценок свободных клеток выбирается максимальная, и для данной свободной клетки строится цикл и производится сдвиг по циклу пересчета. Построив новый опорный план, необходимо перейти к этапу 2 и продолжить последовательное выполнение этапов до тех пор, пока проверка знаков оценок на этапе 3 не позволит сделать вывод о нахождении оптимального плана транспортной задачи.

Приступим к решению задачи методом потенциалов.

В соответствии с пунктом 1 приведенного выше алгоритма, найдем первый опорный план. Используя  метод северо-западного угла, получим: 

 

Убедимся, что число заполненных клеток действительно m+n-1, т.е. 9. После этого решение задачи происходит поитерационно.

Итерация 1. В соответствии с пунктом 2 алгоритма, найдем потенциалы, соответствующие первому опорному плану, для чего построим систему уравнений:

   

Значения  потенциалов удобно записывать в  дополнительной строке и столбце  таблицы планирования.

Пункт 3 алгоритма – вычисление оценок для свободных клеток, значения оценок удобно записывать в левых верхних углах клеток таблицы перевозок. Получим:

Так как  среди оценок имеются положительные, то найденный опорный план не является оптимальным и необходимо перейти к новому опорному плану.

Пункт 4 алгоритма – построение опорного плана. Наибольшей среди оценок является 6, поэтому для данной свободной клетки строим цикл пересчета:

Наряду  с клеткой А₃В₄ в него будут входить клетки А₃В₃, А₄В₃, А₄В₄. Далее производим сдвиг по циклу пересчета, для чего сначала определим плюсовые и минусовые клетки. Затем найдем минимальное среди чисел в минусовых клетках (в нашем случае это число 0). Эта величина вычитается из значений в минусовых клетках и прибавляется к значениям перевозок в плюсовых клетках. При этом необходимо следить за тем, чтобы количество занятых клеток осталось равным m+n-1.

Итерация 2. Продолжим, начиная с пункта 2 выполнение алгоритма для полученного в результате первой итерации опорного плана.

Соответствующая этому плану таблица перевозок  имеет вид: