Комбинаторика в нашей жизни

Марина  Радославовна: «Я одновременно и вижу, и слышу. Любое произведение я переживаю как исполнитель. А в интерпретации могут быть различные способы прочтения, например, можно находить мельчайшие единицы, из которых построена музыкальная ткань, а затем распознавать закономерности в их расположении. Моцарт, изучению музыки которого посвящена моя кандидатская диссертация, – гений музыкальной комбинаторики. Им создана уникальная техника, это «комбинаторика музыкальных мотивов и фигур». Мозг Моцарта можно сравнить с потрясающим компьютером, не знаю, какого поколения, наверное, еще не созданного. Ключевое слово здесь «фигура». Это тот мельчайший элемент, который является строительной единицей музыкальной ткани. Фигурационное письмо связано с совокупностью приемов организации музыкальной ткани, а воплощается в живом звучании.»     

Есть  очень интересные исследования Александра Сергеевича Соколова, который сейчас занимает пост министра культуры. Он высказывал мысль, что мы находимся на излете музыкальной письменности. Это относится, в частности, к серьезной электронной музыке. Увлечение сонорикой, электронными тембрами и возможностями компьютерного представления создает работы совершенно необычные, позволяет находить комбинаторику в музыке, работать со звуком. Звук не то чтобы умножается, а приобретает несколько качеств, возможности конструирования возрастают многократно.     

Мелодии говорят о человеческих чувствах. А уже когда речь идет о явлениях подсознательных, надсознательных, то мелодия должна быть другой. Она не может быть такой естественной, как песня, вылившаяся из души. Открываются такие неизведанные глубины, и эти глубины тоже входят в нашу жизнь и требуют отражения.      

2.2. Мебельная комбинаторика     

Концепция «мебельная комбинаторика» позволяет  по-новому взглянуть на окружающие предметы интерьера. В основу концепции  положены три критерия – эргономичность, функциональность и вариативность. Мы рассмотрели, как можно комбинировать  из нескольких столешниц и оснований  любой стол. [7]. (Приложение №3)     

Стол  кованный сборно-разборный  со стеклянной столешницей. Концепция два стола в одном. Конструкция стола состоит из двух одинаковых частей, из которых можно сделать 2 журнальных стола. Инновационность стола – это полые детали, изготовленные методом ручной горячей ковки в серийном исполнении. При этом стол выглядит массивным и обладает легким весом. Стол является частью программы мебельная комбинаторика. Суть программы заключается в том, что основания столов и столешницы могут комбинироваться между собой. Столы могут комплектоваться столешницами различной формы и материалов: стекло, лайтбрус, натуральное дерево (массив). Фурнитура включает в себя регулируемые опоры, колеса, витражные вставки.     

Мебельная комбинаторика позволяет рассматривать различные варианты комплектации предметов мебели и выбирать из них наилучшее, комфортнее и практичнее.     

2.3. Математика на  шахматной доске     

Профессиональный  интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был  связан с двумя направлениями: математической логикой и комбинаторикой. Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил. Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге. Сошлемся на посвященные этим вопросам книги Л.Я. Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске» (1935) [12] и Е.Я. Гика «Математика на шахматной доске» (1976) [6]. Нужно упомянуть еще работы Мартина Гарднера, вышедшие под общим названием «Математические развлечения». В них содержатся материалы, посвященные шахматным задачам. Вот несколько примеров. Определение размера награды создателю шахматной игры потребовало от «администрации» легендарного индийского царя вычисления количества пшеничных зерен, равного числу с 20 значащими цифрами. [1].     

Задачи  о шахматной доске, на которой  не все поля принимаются во внимание, представляют собой алгоритмический  интерес в игре, поскольку они  определяют, в частности, поля внимания играющего при принятии решения о ходе, который он намерен сделать. Кроме того, вследствие изменения количества полей и формы шахматной доски появляются новые разновидности игры, например шахматы, предложенные Робертом Фишером.     

Исследование  геометрии шахматной доски приводит к разработке алгоритмов для известных и широко применяемых на практике интуитивных правил «квадрата», «треугольника» или «линии Троицкого», позволяющих оценить качество позиции не только на много ходов вперед, но и окончательно, как в приведенных случаях. Более того, при геометрическом анализе позиции в шахматной партии могут возникать и так называемые экстремальные задачи. Их решение помогает отыскивать мат за наименьшее количество ходов.     

Если  теперь обратить внимание на шахматную доску с расположенными на ней фигурами, то возникающие задачи уже будут носить явно выраженный игровой характер. Особенно тогда, когда это задачи с достаточно интересным набором фигур. К ним относятся не только случаи вроде такого, как обойти конем все поля шахматной доски, занимая каждое поле лишь один раз, но и знаменитые коллекции многофигурных эндшпилей. Значительная часть комбинаторных задач связана с определением числа возможных расстановок фигур на доске, что очень важно при поиске однотипных позиций, приводящих к одинаковому результату в дальнейшем течении партии.     

Как известно, основной способ поиска наилучшего хода заключается в переборе возможных  ходов, рассмотрении движения по дереву последовательных позиций и оценке возникающих в результате них состояний игры. Но это весьма дорогостоящий путь в том смысле, что при его прохождении играющему предъявляются непомерные требования по времени даже в случае использования компьютера. Поэтому при поиске наиболее эффективных алгоритмов в компьютерных шахматах принято учитывать как можно больше ограничений (условий), упорядочивающих перебор, т.е. позволяющих отбрасывать те позиции, которые при выборе хода рассматривать не нужно. Эти задачи представляют, как правило, трудности и для математиков, из-за чего получили распространение так называемые эвристические методы их решения. В разработку эффективных методов перебора внесли большой вклад советские математики А. Брудно и В. Арлазаров, предложившие альфа-бета процедуру и форсированный вариант, реализованные еще в шахматной программе «Каисса». [13].     

Так как борьба за уменьшение времени  на «обдумывание» хода всей программой является принципиальным фактором, то математики затрачивают массу усилий на создание входящих в нее приложений (задач, решаемых при поиске нужного хода), работающих наиболее быстро, а также требующих по минимуму оперативной памяти. Так, в свое время один из авторов «Каиссы» придумал изящную реализацию нахождения сочетаний для m фигур и n мест, которые они могут занимать, что весьма важно для эффективной работы подобной программы.     

Клод  Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.     

По  существу компьютерные шахматы —  едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.     

2.4. Пароли и коды  в нашей жизни.     

Вся наша жизнь состоит из множества  разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.     

В качестве кода в зависимости от рода программы могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так  далее...     

Одна  и та же программа, в зависимости от того какой пароль будет предложен, будет выполняться по-разному, в соответствии с предложенным паролем. [6].     

Рассмотрим  на следующем примере – завязывание  отношений между двумя людьми. Допустим знакомится парень с девушкой, возникает программа взаимоотношения. В зависимости от того, что сделает или будет говорить один из них, отношения, а вернее программа отношений будет принимать тот, или иной характер. Если, кто то из них вводит пароль дружбы, вражды, романтики или любой другой, путем каких-то слов или действий будет один результат, другой пароль – другой результат.     

Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к  нам приходит жизненный опыт, он то как раз и есть ничто иное как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек  всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому – что он располагает большей комбинацией паролей.     

Мир вокруг нас постоянно меняется, однако все происходящие изменения вовсе  не хаотичны, как может показаться на первый взгляд. Любые трансформации  внутри Вселенной могут быть классифицированы, их структура отражена в восьми триграммах, их шестидесяти четырех комбинациях (гексаграммах). [14].     

3. Сочетания в нашей  жизни     

В зависимости от правил составления  комбинаций можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. [10].     

Изучив  подробнее один тип комбинаций –  это сочетания, мы решили выполнить  несколько задач и проанализировать полученные результаты.     

Рассмотрим  случай выбора двух элементов.     

Пример 1.В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?     

Решение. Рассмотрим таблицу результатов  встреч размером 7 х 7.

Так как никакая команда не играет сама с собой, то клетки по диагонали  надо закрасить. Тогда в подсчёте числа встреч будет участвовать  ровно 7*7-7=7(7-1) = 42 клетки. В результате закрашивания таблица разделилась на две половинки, в них результаты встреч дублируются. Поэтому если мы разделим оставшиеся 42 клетки на две равны половины, то получим число всех проведённых игр.      

Коротко решение задачи выглядит так:     

(7(7-1))/2 = 21.         

    Ответ: 21.     

Около 2500 лет тому назад древнегреческие  математики находили сумму 1+2+3+…+(п - 1)+ п  с помощью примерно таких  же рассуждений. Сначала они рисовали клетчатую лесенку, в основании  которой - полоса из п клеток, над  ней полоса, в которой (п-1) клетка, затем полоса с (п-2) клетками, и т.д.; в предпоследней строке стояли две клетки, а наверху – одна клетка. Правее они рисовали ту же лесенку, но в перевёрнутом виде: внизу – одна клетка, над ней – две, затем – три клетки,…, а последняя строка состоит из п клеток.     

Затем, сдвинув эти лесенки вместе, получали прямоугольник из п строк и (п+1) столбца.     

Число клеток в этом прямоугольнике равно  п(п+1). Значит, в каждой из двух равных между собой лесенок находится  ровно (п(п+1))/2 клеток.     

Получилась  замечательная формула для суммы первых п натуральных чисел:     

(1 + 2 +…+ ( п -1) + п = п(п +1))/2  [10].      

 Вернёмся к примеру 1. Состав  участников игры определён, как  только мы выбрали две команды.  Значит, количество всех игр в  турнире из п команд – это  в точности количество всех выборок двух элементов из п данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т.е если выбраны две команды, то какая из них первая, а какая вторая – не важно.     

Пример 2. Встретились 6 друзей и каждый пожал  руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?      

Решение.      

Первый  способ. Можно, как и в примере 1, составить таблицу рукопожатий 6 друзей. Затем, рассуждая аналогично, получим, что общее число рукопожатий равно (6(6-1))/2 = 15.     

Второй  способ. Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего 5 рукопожатий Для второго  неучтёнными остались рукопожатия с третьим, четвёртым, пятым, шестым. Всего 4 рукопожатия, и т.д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15.