Эконометрика

 

          Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

 

     Решение  

    Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№	У	X1	X2	У*Х1	У*Х2	Х1*Х2	Х12	Х22	У2
1	7	3,5	9	24,5	63	31,5	12,25	81	49
2	7	3,6	10	25,2	70	36	12,96	100	49
3	7	3,9	12	27,3	84	46,8	15,21	144	49
4	7	4,1	17	28,7	119	69,7	16,81	289	49
5	8	4,2	18	33,6	144	75,6	17,64	324	64
6	8	4,5	19	36	152	85,5	20,25	361	64
7	9	5,3	19	47,7	171	100,7	28,09	361	81
8	9	5,5	20	49,5	180	110	30,25	400	81
9	10	5,6	21	56	210	117,6	31,36	441	100
10	10	6,1	21	61	210	128,1	37,21	441	100
11	10	6,3	22	63	220	138,6	39,69	484	100
12	10	6,5	22	65	220	143	42,25	484	100
13	11	7,2	24	79,2	264	172,8	51,84	576	121
14	12	7,5	25	90	300	187,5	56,25	625	144
15	12	7,9	27	94,8	324	213,3	62,41	729	144
16	13	8,2	30	106,6	390	246	67,24	900	169
17	13	8,4	31	109,2	403	260,4	70,56	961	169
18	14	8,6	33	120,4	462	283,8	73,96	1089	196
19	14	9,5	35	133	490	332,5	90,25	1225	196
20	15	9,6	36	144	540	345,6	92,16	1296	225
сумма	206	126	451	1394,7	5016	3125	868,64	11311	2250
ср. знач.	10,3	6,3	22,55	69,735	250,8	156,25	43,432	565,55	112,5

 

    Найдем  средние квадратические отклонения признаков:

    

    

      

    

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

    Для нахождения параметров линейного уравнения  множественной регрессии необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

    

либо  воспользоваться готовыми формулами:

     ;   ;  .

    Рассчитаем  сначала парные коэффициенты корреляции:

    

    

    

    Находим

    

    

    

    Таким образом, получили следующее уравнение  множественной регрессии:

    

    Найдем  уравнение множественной регрессии  в стандартизованном масштабе

    

    Коэффициенты  и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

       

    Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

    Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между  собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

    Сравнивать  влияние факторов на результат можно  также при помощи средних коэффициентов  эластичности:

    

    Вычисляем:

      

    Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой  квалификации на 1% увеличивает в  среднем выработку продукции на 0,797% или 0,071% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора . 

    

2. Коэффициенты  парной корреляции мы уже нашли:

   

    Они указывают на весьма сильную связь  каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

    При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим  образом:

    Если  сравнить коэффициенты парной и частной  корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

    Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов  корреляции:

    

    где определитель матрицы парных коэффициентов  корреляции;

     определитель матрицы межфакторной корреляции.

    

    

    Коэффициент множественной корреляции:

    

    Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом. 

    

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 97,8% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

    Скорректированный коэффициент множественной детерминации:

    

    определяет  тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 97%) детерминированность результата в модели факторами и . 

    

4. Оценку  надежности уравнения регрессии в целом и коэффициента детерминации дает -критерий Фишера:

    В нашем случае фактическое значение - критерия Фишера:

    

    Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи . 

    

5. С помощью  частных  -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

        

    

    

    

    

    Получили, что  . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

    Если  поменять первоначальный порядок включения  факторов в модель и рассмотреть  вариант включения  после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

   
 

 

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа №3 

Вариант №2 

Тема  «Системы эконометрических уравнений»

 

    Даны системы эконометрических уравнений.

    Требуется:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
2. Определите метод оценки параметров модели.
3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.

    Макроэкономическая  модель (упрощенная версия модели Клейна):

          

    где – потребление; – доход; – инвестиции; К – запас капитала; – налоги; – текущий период; – предыдущий период. 
 

    Решение 

    Первое  уравнение – функция потребления, второе уравнение – функция инвестиций, третье уравнение – тождество дохода.

    Модель  представляет собой систему одновременных  уравнений. Проверим каждое ее уравнение на индентификацию.

    Модель  включает три эндогенные переменные и две предопределенные переменные (одну экзогенные переменные – и одну лаговую переменную – ).

    Проверим  каждое уравнение системы на необходимое  условие индентификации.

    Если  обозначить число эндогенных переменных в i -м уравнении системы через H, а число экзогенных  (предопределенных)      переменных, которые содержатся в  системе, но не входят в данное уравнение  — через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

    D+1=H – уравнение идентифицируемо;

    D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

    D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо;

    Первое  уравнение:

    Уравнение содержит: эндогенных переменных(Н) – 2 ( ), предопределенных переменных(D) – 1 .